関数 $f(x) = \frac{ax+b}{x+3}$ とその逆関数 $f^{-1}(x)$ について、$f(1) = 1$ と $f^{-1}(4) = -1$ が与えられている。このとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{ax+b}{x+3}$ とその逆関数 $f^{-1}(x)$ について、$f(1) = 1$ と $f^{-1}(4) = -1$ が与えられている。このとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(1) = 1$ を $f(x)$ に代入する。

$f(1) = \frac{a(1)+b}{1+3} = \frac{a+b}{4} = 1$

これから、$a+b = 4$ が得られる。

次に、$f^{-1}(4) = -1$ は、$f(-1) = 4$ と同値である。

$f(-1) = \frac{a(-1)+b}{-1+3} = \frac{-a+b}{2} = 4$

これから、$-a+b = 8$ が得られる。

したがって、連立方程式

$a+b = 4$

$-a+b = 8$

を解けばよい。

2つの式を足し合わせると、

$(a+b) + (-a+b) = 4+8$

$2b = 12$

$b = 6$

$a+b = 4$ に $b = 6$ を代入すると、

$a+6 = 4$

$a = -2$

3. 最終的な答え

$a = -2$, $b = 6$