(1) $(2x^2 + y)^8$ の展開式における $x^6y^5$ の係数を求めよ。 (2) $(3x^2 - 2y)^6$ の展開式における $x^6y^3$ の係数を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $(2x^2 + y)^8$ の展開式における $x^6y^5$ の係数を求めよ。

(2) $(3x^2 - 2y)^6$ の展開式における $x^6y^3$ の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 二項定理より $(2x^2 + y)^8$ の一般項は、

$$\binom{8}{k} (2x^2)^{8-k} y^k = \binom{8}{k} 2^{8-k} x^{2(8-k)} y^k$$

$x^6y^5$ の項を探すので、$2(8-k) = 6$ かつ $k = 5$ となる $k$ を見つける。

$2(8-k) = 6$ より $16 - 2k = 6$ だから $2k = 10$ となり $k=5$ 。

したがって、$x^6y^5$ の項は

$$\binom{8}{5} (2x^2)^{8-5} y^5 = \binom{8}{5} (2x^2)^3 y^5 = \binom{8}{5} 2^3 x^6 y^5 = \frac{8!}{5!3!} \cdot 8 x^6 y^5 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 8 x^6 y^5 = 56 \cdot 8 x^6 y^5 = 448 x^6 y^5$$

よって、$x^6y^5$ の係数は448。

(2) 二項定理より $(3x^2 - 2y)^6$ の一般項は、

$$\binom{6}{k} (3x^2)^{6-k} (-2y)^k = \binom{6}{k} 3^{6-k} (-2)^k x^{2(6-k)} y^k$$

$x^6y^3$ の項を探すので、$2(6-k) = 6$ かつ $k = 3$ となる $k$ を見つける。

$2(6-k) = 6$ より $12 - 2k = 6$ だから $2k = 6$ となり $k=3$ 。

したがって、$x^6y^3$ の項は

$$\binom{6}{3} (3x^2)^{6-3} (-2y)^3 = \binom{6}{3} (3x^2)^3 (-2y)^3 = \binom{6}{3} 3^3 (-2)^3 x^6 y^3 = \frac{6!}{3!3!} \cdot 27 \cdot (-8) x^6 y^3 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot (-216) x^6 y^3 = 20 \cdot (-216) x^6 y^3 = -4320 x^6 y^3$$

よって、$x^6y^3$ の係数は-4320。

3. 最終的な答え

(1) 448

(2) -4320