等比数列をなす3つの実数があり、それらの和が28、積が512である。この3つの実数を求めよ。

1. 問題の内容

等比数列をなす3つの実数があり、それらの和が28、積が512である。この3つの実数を求めよ。

2. 解き方の手順

3つの実数を $a/r$, $a$, $ar$ とおく。ここで、$a$ は実数、$r$ は公比を表す実数である。

3つの数の積が512であることから、

$$(a/r) \cdot a \cdot (ar) = 512$$

$$a^3 = 512$$

$$a = \sqrt[3]{512} = 8$$

3つの数の和が28であることから、

$$a/r + a + ar = 28$$

$a = 8$ を代入すると、

$$8/r + 8 + 8r = 28$$

$$8/r + 8r = 20$$

両辺を8で割ると、

$$1/r + r = 5/2$$

両辺に $2r$ をかけると、

$$2 + 2r^2 = 5r$$

$$2r^2 - 5r + 2 = 0$$

この2次方程式を解く。

$$(2r - 1)(r - 2) = 0$$

よって、$r = 1/2$ または $r = 2$

$r = 1/2$ のとき、3つの数は $a/r = 8/(1/2) = 16$, $a = 8$, $ar = 8(1/2) = 4$ となり、数列は16, 8, 4。

$r = 2$ のとき、3つの数は $a/r = 8/2 = 4$, $a = 8$, $ar = 8(2) = 16$ となり、数列は4, 8, 16。

3. 最終的な答え

4, 8, 16