線形写像 $T_A$ がベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ に、ベクトル $\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix}$ に写すとき、ベクトル $\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$ の像を求める問題です。 (1) ベクトル $\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$ をベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ の線形結合で表す係数 $c_1, c_2$ を求めます。 (2) 求めた $c_1, c_2$ を用いて、$\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$ の像を計算します。

1. 問題の内容

線形写像 $T_A$ がベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ に、ベクトル $\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix}$ に写すとき、ベクトル $\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$ の像を求める問題です。

(1) ベクトル $\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$ をベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ の線形結合で表す係数 $c_1, c_2$ を求めます。

(2) 求めた $c_1, c_2$ を用いて、$\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$ の像を計算します。

2. 解き方の手順

(1)

ベクトル $\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ の線形結合で表すと、

$\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$

これは連立方程式として表すことができます。

$c_1 - c_2 = 0$

$-2c_1 + 3c_2 = -2$

$c_1 - c_2 = 0$

1行目と3行目より $c_1 = c_2$ 。これを2行目に代入すると、

$-2c_1 + 3c_1 = -2$

$c_1 = -2$

よって、$c_2 = -2$

したがって、$c_1 = -2, c_2 = -2$

(2)

線形性より、$\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$ の像は、

$T_A \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = c_1 T_A \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 T_A \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$

$T_A \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = -2 \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + (-2) \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix}$

$T_A \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 8 \end{pmatrix}$

$T_A \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $[c_1, c_2] = [-2, -2]$

(2) $\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}$