与えられた式 $(x+1)^2(x-1)^2$ を展開せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+1)^2(x-1)^2$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(x+1)^2$ と $(x-1)^2$ をそれぞれ展開します。

$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$

$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$

次に、これらを掛け合わせます。

$(x+1)^2(x-1)^2 = (x^2 + 2x + 1)(x^2 - 2x + 1)$

この式を整理するために、次のように考えます。

$(x^2 + 2x + 1)(x^2 - 2x + 1) = ((x^2+1) + 2x)((x^2+1) - 2x)$

これは和と差の積の形なので、$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の公式が使えます。ここで、$a = x^2+1$、$b = 2x$ と考えると、

$((x^2+1) + 2x)((x^2+1) - 2x) = (x^2+1)^2 - (2x)^2$

となります。

次に、$(x^2+1)^2$ を展開します。

$(x^2+1)^2 = (x^2)^2 + 2(x^2)(1) + 1^2 = x^4 + 2x^2 + 1$

また、$(2x)^2 = 4x^2$

したがって、

$(x^2+1)^2 - (2x)^2 = (x^4 + 2x^2 + 1) - 4x^2 = x^4 - 2x^2 + 1$

あるいは、最初から$(x+1)(x-1)=x^2-1$を利用すると、

$(x+1)^2(x-1)^2 = [(x+1)(x-1)]^2 = (x^2-1)^2 = (x^2)^2 - 2(x^2)(1) + 1^2 = x^4 - 2x^2 + 1$

3. 最終的な答え

$x^4 - 2x^2 + 1$