与えられた等比数列の条件から、初項と公比を求める問題です。 (1) 初めの2項の和が-2, 次の2項の和が-8 (2) 初項から第3項までの和が3, 第4項から第6項までの和が-24

1. 問題の内容

与えられた等比数列の条件から、初項と公比を求める問題です。

(1) 初めの2項の和が-2, 次の2項の和が-8

(2) 初項から第3項までの和が3, 第4項から第6項までの和が-24

2. 解き方の手順

(1)

初項を$a$, 公比を$r$とすると、

初めの2項の和は$a + ar = a(1+r)$

次の2項の和は$ar^2 + ar^3 = ar^2(1+r)$

与えられた条件より、

$a(1+r) = -2$ ...(1)

$ar^2(1+r) = -8$ ...(2)

(2)を(1)で割ると、

$\frac{ar^2(1+r)}{a(1+r)} = \frac{-8}{-2}$

$r^2 = 4$

$r = \pm 2$

$r = 2$のとき、(1)より

$a(1+2) = -2$

$3a = -2$

$a = -\frac{2}{3}$

$r = -2$のとき、(1)より

$a(1-2) = -2$

$-a = -2$

$a = 2$

(2)

初項を$a$, 公比を$r$とすると、

初項から第3項までの和は$a + ar + ar^2 = a(1+r+r^2)$

第4項から第6項までの和は$ar^3 + ar^4 + ar^5 = ar^3(1+r+r^2)$

与えられた条件より、

$a(1+r+r^2) = 3$ ...(3)

$ar^3(1+r+r^2) = -24$ ...(4)

(4)を(3)で割ると、

$\frac{ar^3(1+r+r^2)}{a(1+r+r^2)} = \frac{-24}{3}$

$r^3 = -8$

$r = -2$

(3)より、

$a(1+(-2)+(-2)^2) = 3$

$a(1-2+4) = 3$

$3a = 3$

$a = 1$

3. 最終的な答え

(1) 初項: $-\frac{2}{3}$, 公比: $2$

または、初項: $2$, 公比: $-2$

(2) 初項: $1$, 公比: $-2$