実数 $\theta$ に対して、2次正方行列 $R_{\theta}$ と $A_{\theta}$ がそれぞれ以下のように定義される。 $R_{\theta} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$, $A_{\theta} = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{pmatrix}$ 実数 $\alpha$, $\beta$ を与えるとき、以下の各式が成り立つかどうか判定し、常に成り立つ場合は〇、そうでない場合は×を選択する。 (1) $R_{\alpha} R_{\beta} = R_{\alpha+\beta}$ (2) $R_{\alpha} R_{\beta}^{-1} = R_{\alpha-\beta}$ (3) $A_{\alpha} A_{\beta} = A_{\alpha+\beta}$ (4) $A_{\alpha} A_{\beta}^{-1} = R_{\alpha-\beta}$

1. 問題の内容

実数 $\theta$ に対して、2次正方行列 $R_{\theta}$ と $A_{\theta}$ がそれぞれ以下のように定義される。

$R_{\theta} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$,

$A_{\theta} = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{pmatrix}$

実数 $\alpha$, $\beta$ を与えるとき、以下の各式が成り立つかどうか判定し、常に成り立つ場合は〇、そうでない場合は×を選択する。

(1) $R_{\alpha} R_{\beta} = R_{\alpha+\beta}$

(2) $R_{\alpha} R_{\beta}^{-1} = R_{\alpha-\beta}$

(3) $A_{\alpha} A_{\beta} = A_{\alpha+\beta}$

(4) $A_{\alpha} A_{\beta}^{-1} = R_{\alpha-\beta}$

2. 解き方の手順

(1) $R_{\alpha} R_{\beta}$ を計算し、$R_{\alpha+\beta}$ と比較する。

$R_{\alpha} R_{\beta} = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \beta & -\sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta & -\cos \alpha \sin \beta - \sin \alpha \cos \beta \\ \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta & -\sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta) \\ \sin(\alpha+\beta) & \cos(\alpha+\beta) \end{pmatrix} = R_{\alpha+\beta}$

よって、常に成り立つ。

(2) $R_{\beta}^{-1}$ を計算し、$R_{\alpha} R_{\beta}^{-1}$ を計算し、$R_{\alpha-\beta}$ と比較する。

$R_{\beta}^{-1} = \begin{pmatrix} \cos \beta & \sin \beta \\ -\sin \beta & \cos \beta \end{pmatrix} = R_{-\beta}$

$R_{\alpha} R_{\beta}^{-1} = R_{\alpha} R_{-\beta} = R_{\alpha + (-\beta)} = R_{\alpha - \beta}$

よって、常に成り立つ。

(3) $A_{\alpha} A_{\beta}$ を計算し、$A_{\alpha+\beta}$ と比較する。

$A_{\alpha} A_{\beta} = \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ \sin \alpha & -\cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \beta & \sin \beta \\ \sin \beta & -\cos \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta & \cos \alpha \sin \beta - \sin \alpha \cos \beta \\ \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta & \sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha-\beta) & -\sin(\alpha-\beta) \\ \sin(\alpha-\beta) & \cos(\alpha-\beta) \end{pmatrix} = R_{\alpha-\beta}$

$A_{\alpha+\beta} = \begin{pmatrix} \cos (\alpha+\beta) & \sin (\alpha+\beta) \\ \sin (\alpha+\beta) & -\cos (\alpha+\beta) \end{pmatrix}$

$A_{\alpha}A_{\beta} = R_{\alpha-\beta}$ と $A_{\alpha+\beta}$ は一般には等しくないので、成り立たない。

(4) $A_{\beta}^{-1}$ を計算し、$A_{\alpha} A_{\beta}^{-1}$ を計算し、$R_{\alpha-\beta}$ と比較する。

$A_{\beta}^{-1} = A_{\beta}$

$A_{\alpha} A_{\beta}^{-1} = A_{\alpha} A_{\beta} = R_{\alpha-\beta}$

よって、常に成り立つ。

3. 最終的な答え

(1)

1. 〇

(2)

1. 〇

(3)

2. ×

(4)

1. 〇