与えられた式 $\frac{4x}{x^2-1} - \frac{x-1}{x^2+x}$ を簡約化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{4x}{x^2-1} - \frac{x-1}{x^2+x}$ を簡約化します。

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$

$x^2 + x = x(x+1)$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{4x}{(x-1)(x+1)} - \frac{x-1}{x(x+1)}$

次に、共通分母を見つけます。共通分母は $x(x-1)(x+1)$ です。

各分数を共通分母で書き換えます。

$\frac{4x}{(x-1)(x+1)} = \frac{4x \cdot x}{x(x-1)(x+1)} = \frac{4x^2}{x(x-1)(x+1)}$

$\frac{x-1}{x(x+1)} = \frac{(x-1)(x-1)}{x(x-1)(x+1)} = \frac{(x-1)^2}{x(x-1)(x+1)} = \frac{x^2 - 2x + 1}{x(x-1)(x+1)}$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{4x^2}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x^2 - 2x + 1}{x(x-1)(x+1)} = \frac{4x^2 - (x^2 - 2x + 1)}{x(x-1)(x+1)}$

分子を簡約化します。

$4x^2 - (x^2 - 2x + 1) = 4x^2 - x^2 + 2x - 1 = 3x^2 + 2x - 1$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{3x^2 + 2x - 1}{x(x-1)(x+1)}$

分子を因数分解します。

$3x^2 + 2x - 1 = (3x - 1)(x+1)$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{(3x - 1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)}$

共通因子 $(x+1)$ を約分します。

$\frac{3x-1}{x(x-1)}$

3. 最終的な答え

$\frac{3x-1}{x(x-1)}$