複素数 $z$ が満たす方程式が与えられたとき、その方程式を満たす点$z$全体が複素数平面上でどのような図形になるかを答える問題です。 (1) $z + \overline{z} = 2$ (2) $z - \overline{z} = 2i$

1. 問題の内容

複素数 $z$ が満たす方程式が与えられたとき、その方程式を満たす点$z$全体が複素数平面上でどのような図形になるかを答える問題です。

(1) $z + \overline{z} = 2$

(2) $z - \overline{z} = 2i$

2. 解き方の手順

複素数 $z$ を $z = x + yi$ ($x, y$ は実数) とおきます。このとき、$\overline{z} = x - yi$ となります。

(1) の方程式に代入すると、

$x + yi + x - yi = 2$

$2x = 2$

$x = 1$

これは、複素数平面上で実部が常に1である直線を表します。

(2) の方程式に代入すると、

$x + yi - (x - yi) = 2i$

$x + yi - x + yi = 2i$

$2yi = 2i$

$2y = 2$

$y = 1$

これは、複素数平面上で虚部が常に1である直線を表します。

3. 最終的な答え

(1) 実部が1である直線

(2) 虚部が1である直線