$k$ を定数とする2次式 $x^2 + 3xy + 2y^2 - 3x - 5y + k$ が、$x, y$ の1次式の積に分解できるような $k$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$k$ を定数とする2次式 $x^2 + 3xy + 2y^2 - 3x - 5y + k$ が、$x, y$ の1次式の積に分解できるような $k$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を $x$ について整理すると、

$$x^2 + (3y - 3)x + (2y^2 - 5y + k) = 0$$

この $x$ に関する2次方程式が実数解を持つためには、判別式 $D \ge 0$ である必要がある。

判別式 $D$ は

$$D = (3y - 3)^2 - 4(2y^2 - 5y + k) = 9y^2 - 18y + 9 - 8y^2 + 20y - 4k = y^2 + 2y + (9 - 4k)$$

である。

この $y$ に関する2次式 $y^2 + 2y + (9 - 4k)$ が完全平方になる必要がある。なぜならば、与えられた式が $x, y$ の1次式の積に分解できるためには、判別式 $D$ が $y$ の一次式の2乗の形になる必要があるからである。

したがって、$y^2 + 2y + (9 - 4k) = 0$ の判別式が0になる必要がある。

$$D' = 1^2 - (9 - 4k) = 1 - 9 + 4k = 4k - 8 = 0$$

よって $4k = 8$ より $k = 2$ である。

$k = 2$ のとき、$y^2 + 2y + (9 - 4k) = y^2 + 2y + 1 = (y + 1)^2$ となり、与えられた式は

$$x^2 + (3y - 3)x + (2y^2 - 5y + 2) = 0$$

$$x = \frac{-(3y - 3) \pm \sqrt{(y + 1)^2}}{2} = \frac{-3y + 3 \pm (y + 1)}{2}$$

$x = \frac{-3y + 3 + y + 1}{2} = \frac{-2y + 4}{2} = -y + 2$

$x = \frac{-3y + 3 - y - 1}{2} = \frac{-4y + 2}{2} = -2y + 1$

よって、与えられた式は

$$(x + y - 2)(x + 2y - 1) = x^2 + 2xy - x + xy + 2y^2 - y - 2x - 4y + 2 = x^2 + 3xy + 2y^2 - 3x - 5y + 2$$

と分解できる。

3. 最終的な答え

$k = 2$