$x = \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} + 1}$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ と $x^4 + \frac{1}{x^4}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} + 1}$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ と $x^4 + \frac{1}{x^4}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ を有理化します。

$x = \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} + 1} = \frac{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)} = \frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{5 - 1} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

次に、$\frac{1}{x}$ を計算します。

$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} - 1} = \frac{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} = \frac{5 + 2\sqrt{5} + 1}{5 - 1} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

次に、$x + \frac{1}{x}$ を計算します。

$x + \frac{1}{x} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} + \frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{3 - \sqrt{5} + 3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{6}{2} = 3$

次に、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ を計算します。

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = 3^2 - 2 = 9 - 2 = 7$

次に、$x^4 + \frac{1}{x^4}$ を計算します。

$x^4 + \frac{1}{x^4} = (x^2 + \frac{1}{x^2})^2 - 2 = 7^2 - 2 = 49 - 2 = 47$

3. 最終的な答え

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 7$

$x^4 + \frac{1}{x^4} = 47$