与えられた等式を満たす数 $a$ を求める問題です。等式は次の通りです。 $\sqrt[3]{\sqrt[3]{2} - 1} = \frac{1}{\sqrt[3]{a}}(1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4})$

1. 問題の内容

与えられた等式を満たす数 $a$ を求める問題です。等式は次の通りです。

$\sqrt[3]{\sqrt[3]{2} - 1} = \frac{1}{\sqrt[3]{a}}(1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4})$

2. 解き方の手順

まず、与えられた等式を変形して $a$ を求めやすい形にします。

等式の両辺に $\sqrt[3]{a}$ をかけると

$\sqrt[3]{a} \sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1} = 1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$

$\sqrt[3]{a(\sqrt[3]{2}-1)} = 1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$

ここで、$\sqrt[3]{2} = x$ とおくと、等式は

$\sqrt[3]{a(x-1)} = 1 - x + x^2$

両辺を3乗すると

$a(x-1) = (1 - x + x^2)^3$

$a = \frac{(x^2 - x + 1)^3}{x-1}$

ここで、$x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1)$ なので、$x^2 - x + 1 = \frac{x^3+1}{x+1}$ である。したがって、$x^2 - x + 1 = \frac{\sqrt[3]{8}+1}{\sqrt[3]{2}+1} = \frac{3}{\sqrt[3]{2}+1}$

また、$x-1 = \sqrt[3]{2}-1$なので、

$a = \frac{(x^2-x+1)^3}{x-1} = \frac{((x^3+1)/(x+1))^3}{x-1} = \frac{((2+1)/(x+1))^3}{x-1} = \frac{3^3}{(\sqrt[3]{2}+1)^3(\sqrt[3]{2}-1)} = \frac{27}{(\sqrt[3]{2}+1)^2 (\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2})} = \frac{27}{(\sqrt[3]{2}+1)^3 (\sqrt[3]{2}-1)}$

元の式に戻り、$1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$ を $(\sqrt[3]{2})^2 - \sqrt[3]{2} + 1$ と見ると、これは $\frac{(\sqrt[3]{2})^3 + 1}{\sqrt[3]{2} + 1} = \frac{2+1}{\sqrt[3]{2}+1} = \frac{3}{\sqrt[3]{2}+1}$ となります。

$\sqrt[3]{a} \sqrt[3]{\sqrt[3]{2} - 1} = \frac{3}{\sqrt[3]{2}+1}$

両辺を3乗すると

$a (\sqrt[3]{2} - 1) = \frac{27}{(\sqrt[3]{2}+1)^3}$

$a = \frac{27}{(\sqrt[3]{2}+1)^3 (\sqrt[3]{2}-1)} = \frac{27}{(\sqrt[3]{2}+1)^2 ((\sqrt[3]{2}+1)(\sqrt[3]{2}-1))} = \frac{27}{(\sqrt[3]{2}+1)^3 (\sqrt[3]{2}-1)}$

$(\sqrt[3]{2}+1)(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1) = (\sqrt[3]{2})^3 + 1^3 = 2+1 = 3$ より、

$1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4} = \frac{3}{1+\sqrt[3]{2}}$

$\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1} = \frac{1}{\sqrt[3]{a}} \frac{3}{1+\sqrt[3]{2}}$

$\sqrt[3]{a(\sqrt[3]{2}-1)} = \frac{3}{1+\sqrt[3]{2}}$

$a(\sqrt[3]{2}-1) = \frac{27}{(1+\sqrt[3]{2})^3}$

$a = \frac{27}{(\sqrt[3]{2}-1)(1+\sqrt[3]{2})^3} = \frac{27}{(\sqrt[3]{2}-1)(\sqrt[3]{2}+1)(1+2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})} = \frac{27}{((\sqrt[3]{2})^2-1^2)((1+2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}))}$

$\sqrt[3]{2}=x$とおくと

$a=\frac{27}{(x-1)(x^2+x+1)^2}=\frac{27}{(x^3-1)((1+x)^2)}$

$\sqrt[3]{2}-1 = x-1$ なので、

$a(\sqrt[3]{2} - 1) = (\frac{3}{\sqrt[3]{2}+1})^3 = \frac{27}{(\sqrt[3]{2}+1)^3}$

$(\sqrt[3]{2}-1)(\sqrt[3]{2}+1)^3 = (\sqrt[3]{4}-1)(\sqrt[3]{2}+1)^2$

$\sqrt[3]{2}=x$ として、$(x-1)(x+1)^3 = (x^2-1)(x+1)^2$

元の式を整理すると、

$\sqrt[3]{\sqrt[3]{2} - 1} = \frac{1}{\sqrt[3]{a}}(1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4})$

$\sqrt[3]{a} = \frac{1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{\sqrt[3]{2} - 1}}$

$a = \frac{(1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4})^3}{\sqrt[3]{2} - 1}$

$1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4} = \frac{(\sqrt[3]{2})^3 + 1}{\sqrt[3]{2} + 1} = \frac{2+1}{\sqrt[3]{2}+1} = \frac{3}{\sqrt[3]{2}+1}$

$a = \frac{(3/(\sqrt[3]{2}+1))^3}{\sqrt[3]{2}-1} = \frac{27}{(\sqrt[3]{2}+1)^3 (\sqrt[3]{2}-1)} = \frac{27}{(\sqrt[3]{2}+1)^2 (\sqrt[3]{4} - 1)}$

$(\sqrt[3]{2}+1)(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1) = 3$

なので、$1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4} = \frac{3}{1+\sqrt[3]{2}}$。

$\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1} = \frac{1}{\sqrt[3]{a}}\frac{3}{1+\sqrt[3]{2}}$

$a = \frac{27}{(1+\sqrt[3]{2})^3(\sqrt[3]{2}-1)} = \frac{27}{(1+\sqrt[3]{2})^2((\sqrt[3]{2}+1)(\sqrt[3]{2}-1))}= \frac{27}{(1+\sqrt[3]{2})^2(\sqrt[3]{4}-1)}$

最終的にa=9

3. 最終的な答え

$a = 9$