与えられた数式の値を計算します。数式は $\frac{1}{\sqrt{3}-1} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算します。数式は $\frac{1}{\sqrt{3}-1} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数の分母を有理化します。

一つ目の分数 $\frac{1}{\sqrt{3}-1}$ の分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{3}+1$ を掛けます。

$$\frac{1}{\sqrt{3}-1} = \frac{1 \times (\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

二つ目の分数 $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ の分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ を掛けます。

$$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{1 \times (\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{5-3} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$$

次に、有理化した二つの分数を足し合わせます。

$$\frac{\sqrt{3}+1}{2} + \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}+1+\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$