X, Y, Zの3人が5点満点の小テストを受けました。3人の点数について、 * XとYの平均点はZの点数と等しい * YとZの合計点はXの点数の3倍である このとき、3人の合計点を求めます。

1. 問題の内容

X, Y, Zの3人が5点満点の小テストを受けました。3人の点数について、

* XとYの平均点はZの点数と等しい

* YとZの合計点はXの点数の3倍である

このとき、3人の合計点を求めます。

2. 解き方の手順

X, Y, Zの点数をそれぞれ$x, y, z$とします。問題文より、以下の2つの式が得られます。

* XとYの平均点はZの点数と等しい: $\frac{x+y}{2} = z$

* YとZの合計点はXの点数の3倍である: $y+z = 3x$

最初の式から、$x+y = 2z$が得られます。

3人の合計点を$S$とすると、$S = x+y+z$です。

$x+y = 2z$を$S$の式に代入すると、$S = 2z + z = 3z$が得られます。

$y+z = 3x$を変形して、$y = 3x - z$が得られます。

$x+y = 2z$に$y = 3x-z$を代入すると、$x + (3x - z) = 2z$となり、$4x - z = 2z$となります。

したがって、$4x = 3z$となります。

$z = \frac{4}{3}x$を$S = 3z$に代入すると、$S = 3 \times \frac{4}{3}x = 4x$となります。

$y+z = 3x$ に $z=\frac{4}{3}x$を代入すると、$y+\frac{4}{3}x = 3x$となり、$y = 3x-\frac{4}{3}x = \frac{9}{3}x - \frac{4}{3}x = \frac{5}{3}x$となります。

$x, y, z$はそれぞれ1以上5以下の整数なので、これを満たす$x$を求めます。

$x=3$のとき、$z = \frac{4}{3} \times 3 = 4$、$y = \frac{5}{3} \times 3 = 5$となります。

$x=3, y=5, z=4$のとき、条件$\frac{x+y}{2} = z$は$\frac{3+5}{2} = 4$となり、条件$y+z = 3x$は$5+4 = 3 \times 3$となり、どちらも満たします。

したがって、$S = x+y+z = 3+5+4 = 12$となります。また、$S=4x = 4*3 = 12$とも計算できます。

3. 最終的な答え

12点