軸が $x=4$ である放物線が、2点 $(2, -3)$ と $(-2, 13)$ を通る。この放物線をグラフにもつ2次関数を求めよ。

1. 問題の内容

軸が $x=4$ である放物線が、2点 $(2, -3)$ と $(-2, 13)$ を通る。この放物線をグラフにもつ2次関数を求めよ。

2. 解き方の手順

軸が $x=4$ であるから、求める2次関数は次のように表せる。

$y = a(x-4)^2 + q$

この式に、与えられた2点の座標を代入する。

点 $(2, -3)$ を代入すると、

$-3 = a(2-4)^2 + q$

$-3 = 4a + q$ ...(1)

点 $(-2, 13)$ を代入すると、

$13 = a(-2-4)^2 + q$

$13 = 36a + q$ ...(2)

(2)式から(1)式を引くと、

$13 - (-3) = (36a + q) - (4a + q)$

$16 = 32a$

$a = \frac{1}{2}$

$a = \frac{1}{2}$ を(1)式に代入すると、

$-3 = 4 \times \frac{1}{2} + q$

$-3 = 2 + q$

$q = -5$

したがって、求める2次関数は、

$y = \frac{1}{2}(x-4)^2 - 5$

$y = \frac{1}{2}(x^2 - 8x + 16) - 5$

$y = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 8 - 5$

$y = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 3$

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 3$