関数 $y = f(x) = x^2 - (2a - 3)x - 2a - 2$ について、区間 $-2 \le x \le 3$ における最大値と最小値を、$a$ の値によって場合分けして求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = f(x) = x^2 - (2a - 3)x - 2a - 2$ について、区間 $-2 \le x \le 3$ における最大値と最小値を、$a$ の値によって場合分けして求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = x^2 - (2a - 3)x - 2a - 2$

$y = \left(x - \frac{2a-3}{2}\right)^2 - \left(\frac{2a-3}{2}\right)^2 - 2a - 2$

$y = \left(x - \frac{2a-3}{2}\right)^2 - \frac{4a^2 - 12a + 9}{4} - 2a - 2$

$y = \left(x - \frac{2a-3}{2}\right)^2 - \frac{4a^2 - 12a + 9 + 8a + 8}{4}$

$y = \left(x - \frac{2a-3}{2}\right)^2 - \frac{4a^2 - 4a + 17}{4}$

軸は $x = \frac{2a-3}{2} = a - \frac{3}{2}$ となります。区間 $-2 \le x \le 3$ における最大値と最小値を考えるために、軸の位置によって場合分けします。

場合分けの基準は以下の通りです。

* $a - \frac{3}{2} < -2$ つまり $a < -\frac{1}{2}$

* $-2 \le a - \frac{3}{2} \le 3$ つまり $-\frac{1}{2} \le a \le \frac{9}{2}$

* $a - \frac{3}{2} > 3$ つまり $a > \frac{9}{2}$

さらに$-\frac{1}{2} \le a \le \frac{9}{2}$の場合、

* $-2 \le a - \frac{3}{2} \le \frac{-2+3}{2}$ つまり $-\frac{1}{2} \le a \le \frac{5}{2}$

* $\frac{-2+3}{2} \le a - \frac{3}{2} \le 3$ つまり $\frac{5}{2} \le a \le \frac{9}{2}$

最小値について

* $a < -\frac{1}{2}$ のとき、最小値は $x = -2$ のとき。

$f(-2) = (-2)^2 - (2a - 3)(-2) - 2a - 2 = 4 + 4a - 6 - 2a - 2 = 2a - 4$

* $-\frac{1}{2} \le a \le \frac{9}{2}$ のとき、最小値は頂点の $y$ 座標 $-\frac{4a^2 - 4a + 17}{4}$

* $a > \frac{9}{2}$ のとき、最小値は $x = 3$ のとき。

$f(3) = 3^2 - (2a - 3)(3) - 2a - 2 = 9 - 6a + 9 - 2a - 2 = -8a + 16$

最大値について

* $a < \frac{5}{2}$ のとき、最大値は $x = 3$ のとき。 $f(3) = -8a + 16$

* $a > \frac{5}{2}$ のとき、最大値は $x = -2$ のとき。 $f(-2) = 2a - 4$

以上の議論から、aの範囲を以下の通りに分類します。

* $a < -\frac{1}{2}$

* $-\frac{1}{2} \le a \le \frac{5}{2}$

* $\frac{5}{2} < a \le \frac{9}{2}$

* $a > \frac{9}{2}$

| a の範囲 | 最大値 | 最小値 |

|---|---|---|

| $a < -\frac{1}{2}$ | $-8a+16$ | $2a-4$ |

| $-\frac{1}{2} \le a \le \frac{5}{2}$ | $-8a+16$ | $-\frac{4a^2 - 4a + 17}{4}$ |

| $\frac{5}{2} < a \le \frac{9}{2}$ | $2a-4$ | $-\frac{4a^2 - 4a + 17}{4}$ |

| $a > \frac{9}{2}$ | $2a-4$ | $-8a+16$ |

3. 最終的な答え

| a の範囲 | 最大値 | 最小値 |

|---|---|---|

| $a < -\frac{1}{2}$ | $-8a+16$ | $2a-4$ |

| $-\frac{1}{2} \le a \le \frac{5}{2}$ | $-8a+16$ | $-\frac{4a^2 - 4a + 17}{4}$ |

| $\frac{5}{2} < a \le \frac{9}{2}$ | $2a-4$ | $-\frac{4a^2 - 4a + 17}{4}$ |

| $a > \frac{9}{2}$ | $2a-4$ | $-8a+16$ |