次の不等式を解きます。 $6 \le |x+3| + |x-1| \le 10$

1. 問題の内容

次の不等式を解きます。

$6 \le |x+3| + |x-1| \le 10$

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために、場合分けを行います。

(i) $x < -3$ のとき

$|x+3| = -(x+3)$ かつ $|x-1| = -(x-1)$ なので、不等式は

$6 \le -(x+3) - (x-1) \le 10$

$6 \le -2x - 2 \le 10$

$8 \le -2x \le 12$

$-6 \le x \le -4$

$x < -3$ との共通範囲は $-6 \le x \le -4$

(ii) $-3 \le x < 1$ のとき

$|x+3| = x+3$ かつ $|x-1| = -(x-1)$ なので、不等式は

$6 \le (x+3) - (x-1) \le 10$

$6 \le 4 \le 10$

これは、$x$ に関係なく常に成り立ちません。よって、この範囲に解はありません。

(iii) $x \ge 1$ のとき

$|x+3| = x+3$ かつ $|x-1| = x-1$ なので、不等式は

$6 \le (x+3) + (x-1) \le 10$

$6 \le 2x + 2 \le 10$

$4 \le 2x \le 8$

$2 \le x \le 4$

$x \ge 1$ との共通範囲は $2 \le x \le 4$

(i), (ii), (iii) より、不等式の解は

$-6 \le x \le -4$ または $2 \le x \le 4$

3. 最終的な答え

$-6 \le x \le -4$ または $2 \le x \le 4$