与えられた不等式 $\frac{1}{2}(n+3) + \frac{1}{6} > \frac{1}{3}(4n-1)$ を満たす自然数 $n$ をすべて求めよ。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $\frac{1}{2}(n+3) + \frac{1}{6} > \frac{1}{3}(4n-1)$ を満たす自然数 $n$ をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を整理する。

$\frac{1}{2}(n+3) + \frac{1}{6} > \frac{1}{3}(4n-1)$

両辺に6を掛けて分母を払う。

$3(n+3) + 1 > 2(4n-1)$

$3n + 9 + 1 > 8n - 2$

$3n + 10 > 8n - 2$

両辺から $3n$ を引く。

$10 > 5n - 2$

両辺に2を加える。

$12 > 5n$

両辺を5で割る。

$\frac{12}{5} > n$

$n < \frac{12}{5}$

$n < 2.4$

$n$ は自然数であるから、$n$ は1または2である。

$n=1$ のとき:

$\frac{1}{2}(1+3) + \frac{1}{6} = \frac{4}{2} + \frac{1}{6} = 2 + \frac{1}{6} = \frac{13}{6}$

$\frac{1}{3}(4(1)-1) = \frac{1}{3}(3) = 1 = \frac{6}{6}$

$\frac{13}{6} > \frac{6}{6}$ なので、$n=1$ は条件を満たす。

$n=2$ のとき:

$\frac{1}{2}(2+3) + \frac{1}{6} = \frac{5}{2} + \frac{1}{6} = \frac{15}{6} + \frac{1}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$

$\frac{1}{3}(4(2)-1) = \frac{1}{3}(8-1) = \frac{7}{3}$

$\frac{8}{3} > \frac{7}{3}$ なので、$n=2$ は条件を満たす。

3. 最終的な答え

1, 2