問題は、次の3つの小問から構成されています。 (1) $6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$ を因数分解する。 (2) $A = x^3 + x^2 + x + 1$, $B = x^3 - x^2 + x - 1$ のとき、$A$ と $B$ を因数分解し、$A^3 - B^3$ の展開式における $x^6$ の係数を求める。 (3) $a + b + c = 11$, $ab + bc + ca = 17$ のとき、$a^2 + b^2 + c^2$ の値を求める。

1. 問題の内容

問題は、次の3つの小問から構成されています。

(1) $6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$ を因数分解する。

(2) $A = x^3 + x^2 + x + 1$, $B = x^3 - x^2 + x - 1$ のとき、$A$ と $B$ を因数分解し、$A^3 - B^3$ の展開式における $x^6$ の係数を求める。

(3) $a + b + c = 11$, $ab + bc + ca = 17$ のとき、$a^2 + b^2 + c^2$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $6x^2 + 7xy + 2y^2 + x - 2$

$= (2x + y)(3x + 2y) + x - 2$

$= (2x + y + a)(3x + 2y + b)$ とおく。展開すると、

$= 6x^2 + 7xy + 2y^2 + (3a + 2b)x + (2a + b)y + ab$

$x$ の係数を比較して、$3a + 2b = 1$

定数項を比較して、$ab = -2$

$a = 1$ とすると $3 + 2b = 1$ より $b = -1$ で $ab = -1$ となり不適。

$a = -1$ とすると $-3 + 2b = 1$ より $b = 2$ で $ab = -2$ となり適する。

したがって、$(2x + y - 1)(3x + 2y + 2)$ と因数分解できる。

よって、ア=2, イ=1, ウ=3, エ=

2.

(2) $A = x^3 + x^2 + x + 1 = x^2(x+1) + (x+1) = (x^2+1)(x+1)$

$B = x^3 - x^2 + x - 1 = x^2(x-1) + (x-1) = (x^2+1)(x-1)$

$A = (x + 1)(x^2 + 1)$、 $B = (x - 1)(x^2 + 1)$

$A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$

$A - B = (x + 1)(x^2 + 1) - (x - 1)(x^2 + 1) = 2(x^2 + 1)$

$A^2 = (x+1)^2(x^2+1)^2 = (x^2 + 2x + 1)(x^4 + 2x^2 + 1) = x^6 + 2x^5 + 3x^4 + 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1$

$B^2 = (x-1)^2(x^2+1)^2 = (x^2 - 2x + 1)(x^4 + 2x^2 + 1) = x^6 - 2x^5 + 3x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x + 1$

$AB = (x+1)(x-1)(x^2+1)^2 = (x^2 - 1)(x^4 + 2x^2 + 1) = x^6 + x^4 - x^2 - 1$

$A^2 + AB + B^2 = 3x^6 + 7x^4 + 5x^2 + 1$

$A^3 - B^3 = 2(x^2 + 1)(3x^6 + 7x^4 + 5x^2 + 1) = 6x^8 + 14x^6 + 10x^4 + 2x^2 + 6x^6 + 14x^4 + 10x^2 + 2 = 6x^8 + 20x^6 + 24x^4 + 12x^2 + 2$

$A^3 - B^3$ の展開式における $x^6$ の係数は、20。

よって、オ=1, カ=1, キ=1, ク=1, ケコ=

2

0.

(3) $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)$

$11^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(17)$

$121 = a^2 + b^2 + c^2 + 34$

$a^2 + b^2 + c^2 = 121 - 34 = 87$

よって、サシ=

8

7.

3. 最終的な答え

(1) ア=2, イ=1, ウ=3, エ=2

(2) オ=1, カ=1, キ=1, ク=1, ケコ=20

(3) サシ=87