はい、承知しました。3つの問題についてそれぞれ解答します。

はい、承知しました。3つの問題についてそれぞれ解答します。

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1. 問題の内容**

(1) 一般項が $4n^2 + 3n - 1$ である数列の初項から第10項までの和を求める。

(2) 和 $\sum_{k=1}^{100} \frac{1}{k(k+1)}$ を計算する。

(3) 数列 $1, 3, 7, 13, 21, 31, ...$ の一般項 $a_n$ を求める。

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2. 解き方の手順**

(1) 一般項が与えられた数列の和の計算

一般項を $a_n = 4n^2 + 3n - 1$ とします。初項から第10項までの和 $S_{10}$ は、$\sum_{n=1}^{10} a_n$ で計算できます。

$\sum$ の公式 $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$, $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を用います。

$S_{10} = \sum_{n=1}^{10} (4n^2 + 3n - 1)$

$= 4\sum_{n=1}^{10} n^2 + 3\sum_{n=1}^{10} n - \sum_{n=1}^{10} 1$

$= 4 \cdot \frac{10(10+1)(2\cdot10+1)}{6} + 3 \cdot \frac{10(10+1)}{2} - 10$

$= 4 \cdot \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} + 3 \cdot \frac{10 \cdot 11}{2} - 10$

$= 4 \cdot 385 + 3 \cdot 55 - 10$

$= 1540 + 165 - 10$

$= 1695$

(2) 和の計算（部分分数分解）

$\sum_{k=1}^{100} \frac{1}{k(k+1)}$ を計算します。$\frac{1}{k(k+1)}$ は部分分数分解できます。

$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$

したがって、

$\sum_{k=1}^{100} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{100} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1})$

$= (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + ... + (\frac{1}{100} - \frac{1}{101})$

これは telescoping sum と呼ばれるもので、多くの項が打ち消しあいます。

$\sum_{k=1}^{100} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) = 1 - \frac{1}{101} = \frac{101 - 1}{101} = \frac{100}{101}$

(3) 数列の一般項の計算

与えられた数列は $1, 3, 7, 13, 21, 31, ...$ です。階差数列を求めてみます。

階差数列 $b_n$ は $2, 4, 6, 8, 10, ...$ となります。

$b_n$ は等差数列であり、一般項は $b_n = 2n$ となります。

元の数列 $a_n$ の一般項を求めます。$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 1 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} k$

$= 1 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 1 + n(n-1) = 1 + n^2 - n = n^2 - n + 1$

$n=1$ のとき、$a_1 = 1^2 - 1 + 1 = 1$ となり、これは初項と一致します。

したがって、一般項は $a_n = n^2 - n + 1$ です。

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3. 最終的な答え**

(1) $1695$

(2) $\frac{100}{101}$

(3) $a_n = n^2 - n + 1$