$xy$ 平面上のベクトル $a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$ (ただし、$a$ は $y$ 軸と平行でない、つまり $a_1 \neq 0$) を考える。点 $v$ に対して、その点を通って $a$ と平行な直線と $y$ 軸との交点を $p(v)$ とし、その点を通って $y$ 軸と平行な直線と $a$ を延長した直線との交点を $q(v)$ とする。線形写像 $p$ と $q$ の行列表示がそれぞれ $p = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -\frac{a_2}{a_1} & 1 \end{pmatrix}$, $q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{a_2}{a_1} & 0 \end{pmatrix}$ で与えられるとき、以下の問いに答えよ。 (1) $pq$ および $qp$ を計算し、その結果の図形的な意味を考察せよ。 (2) (1) の結果から、$pr = rp = E$ を満たす行列 $r$ が存在しないことを示せ。 (3) $p^2$ および $q^2$ を計算し、その結果の図形的な意味を考察せよ。 (4) $p^2 + pq + qp + q^2$ を二通りの方法で計算し、その結果の図形的な意味を考察せよ。

1. 問題の内容

$xy$ 平面上のベクトル $a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$ (ただし、$a$ は $y$ 軸と平行でない、つまり $a_1 \neq 0$) を考える。点 $v$ に対して、その点を通って $a$ と平行な直線と $y$ 軸との交点を $p(v)$ とし、その点を通って $y$ 軸と平行な直線と $a$ を延長した直線との交点を $q(v)$ とする。線形写像 $p$ と $q$ の行列表示がそれぞれ

$p = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -\frac{a_2}{a_1} & 1 \end{pmatrix}$,

$q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{a_2}{a_1} & 0 \end{pmatrix}$

で与えられるとき、以下の問いに答えよ。

(1) $pq$ および $qp$ を計算し、その結果の図形的な意味を考察せよ。

(2) (1) の結果から、$pr = rp = E$ を満たす行列 $r$ が存在しないことを示せ。

(3) $p^2$ および $q^2$ を計算し、その結果の図形的な意味を考察せよ。

(4) $p^2 + pq + qp + q^2$ を二通りの方法で計算し、その結果の図形的な意味を考察せよ。

2. 解き方の手順

(1) $pq$ および $qp$ の計算：

$pq = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -\frac{a_2}{a_1} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{a_2}{a_1} & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -\frac{a_2}{a_1} + \frac{a_2}{a_1} & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

$qp = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{a_2}{a_1} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -\frac{a_2}{a_1} & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

図形的な意味：

$pq(v) = 0$ は、まず $q$ で変換してから $p$ で変換すると原点に写像されることを意味する。

$qp(v) = 0$ は、まず $p$ で変換してから $q$ で変換すると原点に写像されることを意味する。

(2) $pr = rp = E$ を満たす行列 $r$ が存在しないことの証明：

$pq = 0$ であるから、$p$ の逆行列が存在すると仮定すると、$p^{-1}pq = p^{-1}0$ より $q = 0$ となるが、$q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{a_2}{a_1} & 0 \end{pmatrix}$ は零行列ではないので矛盾する。したがって、$p$ に逆行列は存在しない。同様に、$q$ も逆行列を持たない。

もしそのような $r$ が存在すると仮定すると、$pr = E$ より、$p$ は逆行列を持つことになり、これは矛盾である。したがって、$pr = rp = E$ を満たす行列 $r$ は存在しない。

(3) $p^2$ および $q^2$ の計算：

$p^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -\frac{a_2}{a_1} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -\frac{a_2}{a_1} & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -(\frac{a_2}{a_1}) & 1 \end{pmatrix} = p$.

$q^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{a_2}{a_1} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{a_2}{a_1} & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{a_2}{a_1} & 0 \end{pmatrix} = q$.

図形的な意味：

$p^2 = p$ は、$p$ による変換を2回行っても、1回行った場合と同じ結果になることを意味する。

$q^2 = q$ は、$q$ による変換を2回行っても、1回行った場合と同じ結果になることを意味する。

(4) $p^2 + pq + qp + q^2$ の計算：

方法1：直接計算

$p^2 + pq + qp + q^2 = p + 0 + 0 + q = p + q = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -\frac{a_2}{a_1} & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{a_2}{a_1} & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = E$.

方法2：因数分解

$p^2 + pq + qp + q^2 = p(p+q) + q(p+q) = (p+q)(p+q)$は誤り. 正しくは、

$p^2+pq+qp+q^2 = p(p+q) + q(p+q) = (p+q)^2 - pq +qp$

$p^2 + pq + qp + q^2= (p+q)p + (p+q)q = p(p+q)+q(p+q)$

図形的な意味：

$p^2 + pq + qp + q^2 = E$ は、$p^2 + pq + qp + q^2$ による変換は恒等変換であることを意味する。

3. 最終的な答え

(1) $pq = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, $qp = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

図形的な意味は上記参照。

(2) $pr = rp = E$ を満たす行列 $r$ は存在しない。

(3) $p^2 = p = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -\frac{a_2}{a_1} & 1 \end{pmatrix}$, $q^2 = q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{a_2}{a_1} & 0 \end{pmatrix}$.

図形的な意味は上記参照。

(4) $p^2 + pq + qp + q^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = E$.

図形的な意味は上記参照。