以下の2つの式を因数分解します。 (1) $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc$ (2) $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 3abc$

はい、承知いたしました。与えられた2つの式を因数分解します。

1. 問題の内容

以下の2つの式を因数分解します。

(1) $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc$

(2) $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 3abc$

2. 解き方の手順

(1) $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc$ を展開して整理します。

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$

$= a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 2abc$

$= a^2(b+c) + a(b^2 + 2bc + c^2) + bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c)$

$= (b+c)[a^2 + a(b+c) + bc]$

$= (b+c)(a^2 + ab + ac + bc)$

$= (b+c)[a(a+b) + c(a+b)]$

$= (b+c)(a+b)(a+c)$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$

(2) $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 3abc$ を展開して整理します。

$a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 3abc = a^2b + a^2c + b^2c + b^2a + c^2a + c^2b + 3abc$

$= a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 3abc$

$= a^2(b+c) + a(b^2+c^2+3bc) + b^2c + bc^2$

$= a^2(b+c) + a(b^2+c^2+3bc) + bc(b+c)$

$a$について整理します。

$= a^2(b+c) + a(b^2+3bc+c^2) + bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + a(b^2+bc+2bc+c^2) + bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + a(b(b+c) + c(2b+c)) + bc(b+c)$

これは$a,b,c$に関する対称式なので$(a+b)(b+c)(c+a)$の形に変形できるはずです。

ここで、$a=-b$を代入すると

$a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 3abc = b^2(b+c) + b^2(c-b) + c^2(-b+b) + 3(-b)bc = b^3+b^2c + b^2c - b^3 + 0 - 3b^2c = -b^2c + 2b^2c - 3b^2c = 0$

よって、$(a+b)$を因数に持つことがわかります。

対称性より、$(b+c)$、$(c+a)$も因数に持つことがわかります。

$a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 3abc = (a+b)(b+c)(c+a) + kabc$とおくと、

$a=b=c=1$のとき、$1^2(1+1) + 1^2(1+1) + 1^2(1+1) + 3(1)(1)(1) = 2+2+2+3 = 9$

$(1+1)(1+1)(1+1) + k(1)(1)(1) = 8+k=9$

よって$k=1$

$a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 3abc = (a+b)(b+c)(c+a) + abc$

ここでミスをしていました。正しくは

$a=-b$を代入すると、 $0$になります。

$a=-c$を代入すると、$0$になります。

$a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 3abc = (a+b)(b+c)(c+a) + Kabc$とおくと、

$a=b=c=1$のとき、$1^2(1+1) + 1^2(1+1) + 1^2(1+1) + 3(1)(1)(1) = 2+2+2+3 = 9$

$(1+1)(1+1)(1+1) + K(1)(1)(1) = 8+K=9$

$K=1$, より $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$は誤り。

$(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b)(bc+ba+c^2+ca) = abc+ba^2+ac^2+ca^2 + b^2c+b^2a+bc^2+cba = abc+a^2b+ac^2+a^2c+b^2c+ab^2+bc^2+abc= 2abc+a^2b+ac^2+a^2c+b^2c+ab^2+bc^2$

元の式からこれを引くと、$abc$

$a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 3abc = (a+b)(b+c)(c+a) + abc$

よって、$(a+b)(b+c)(c+a) + abc$は間違い。

$a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 3abc = (a+b)(b+c)(c+a) + kabc$

$a=1, b=1, c=1$を代入

$2+2+2+3=9$

$(2)(2)(2) + k = 8+k = 9$

$k=1$

$a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + abc$

$(a+b)(b+c)(a+c)$

$abc + ac^2 + ab^2 + bc^2 + 2abc + ca^2+ ba^2+ cb^2$

3. 最終的な答え

(1) $(a+b)(b+c)(c+a)$

(2) $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$

$(a+b)(b+c)(a+c)+abc$

$(a+b+c)(ab+bc+ca)$

$(a+b)(b+c)(c+a)+abc= a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc +abc$

$(a+b+c)(ab+bc+ca)$ = a2b+abc+c2a + b2a+b2c+abc+ abc+bc2+ ca2 = (a+b+c)(ab+bc+ac)$

$a^2b+b2c+a^2c+b^2a+c2b+a^2c+3abc$

(1) $(a+b)(b+c)(c+a)$

(2) $(a+b+c)(ab+bc+ca)$