与えられた方程式 $|2x+1| = |2x-1| + 6x$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $|2x+1| = |2x-1| + 6x$ を解く。

2. 解き方の手順

絶対値を含む方程式を解くためには、絶対値の中身の符号によって場合分けをする必要がある。

(1) $x < -1/2$ のとき、 $2x+1<0$ かつ $2x-1<0$ なので、

$$-(2x+1) = -(2x-1) + 6x$$

$$-2x - 1 = -2x + 1 + 6x$$

$$-2x - 1 = -2x + 1 + 6x$$

$$-1 = 1 + 6x$$

$$6x = -2$$

$$x = -\frac{1}{3}$$

これは $x < -1/2$ を満たさないので、解ではない。

(2) $-1/2 \le x < 1/2$ のとき、$2x+1 \ge 0$ かつ $2x-1 < 0$ なので、

$$2x + 1 = -(2x-1) + 6x$$

$$2x + 1 = -2x + 1 + 6x$$

$$2x + 1 = 4x + 1$$

$$2x = 0$$

$$x = 0$$

これは $-1/2 \le x < 1/2$ を満たすので、解である。

(3) $x \ge 1/2$ のとき、$2x+1 > 0$ かつ $2x-1 \ge 0$ なので、

$$2x + 1 = 2x - 1 + 6x$$

$$2x + 1 = 8x - 1$$

$$6x = 2$$

$$x = \frac{1}{3}$$

これは $x \ge 1/2$ を満たさないので、解ではない。

以上より、解は $x=0$ のみである。

3. 最終的な答え

$x = 0$