$a$ を定数とする。2次関数 $f(x) = 2x^2 - ax + 5$ ($0 \le x \le 4$) の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。2次関数 $f(x) = 2x^2 - ax + 5$ ($0 \le x \le 4$) の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2次関数を平方完成する。

$f(x) = 2x^2 - ax + 5 = 2(x^2 - \frac{a}{2}x) + 5 = 2(x - \frac{a}{4})^2 - 2(\frac{a}{4})^2 + 5 = 2(x - \frac{a}{4})^2 - \frac{a^2}{8} + 5$

軸は $x = \frac{a}{4}$ である。

定義域 $0 \le x \le 4$ における最大値と最小値を考えるために、軸の位置 $\frac{a}{4}$ によって場合分けを行う。

(1) $\frac{a}{4} < 0$ つまり $a < 0$ のとき

このとき、軸は定義域の左側にあるため、$x=0$ で最大値、$x=4$ で最小値をとる。

最大値: $f(0) = 5$

最小値: $f(4) = 2(4)^2 - a(4) + 5 = 32 - 4a + 5 = 37 - 4a$

(2) $0 \le \frac{a}{4} \le 4$ つまり $0 \le a \le 16$ のとき

このとき、軸は定義域内にあるため、$x = \frac{a}{4}$ で最小値をとる。

最小値: $f(\frac{a}{4}) = - \frac{a^2}{8} + 5$

最大値は、$x=0$ または $x=4$ のどちらかでとる。

$f(0) = 5$, $f(4) = 37 - 4a$

$f(0) - f(4) = 5 - (37 - 4a) = 4a - 32$

$f(0) > f(4)$ となるのは、$4a > 32$ すなわち $a > 8$ のとき。

$f(0) < f(4)$ となるのは、$4a < 32$ すなわち $a < 8$ のとき。

$f(0) = f(4)$ となるのは、$4a = 32$ すなわち $a = 8$ のとき。

- $0 \le a < 8$ のとき、最大値は $f(4) = 37 - 4a$

- $a = 8$ のとき、最大値は $f(0) = f(4) = 5$

- $8 < a \le 16$ のとき、最大値は $f(0) = 5$

(3) $\frac{a}{4} > 4$ つまり $a > 16$ のとき

このとき、軸は定義域の右側にあるため、$x=4$ で最大値、$x=0$ で最小値をとる。

最大値: $f(0)= 5$

最小値: $f(4) = 2(0)^2 - a(0) + 5=37-4a$

まとめ

(1) $a < 0$ のとき

最大値：$f(0) = 5$ ($x=0$), 最小値：$f(4) = 37 - 4a$ ($x=4$)

(2) $0 \le a < 8$ のとき

最大値：$f(4) = 37 - 4a$ ($x=4$), 最小値：$f(\frac{a}{4}) = - \frac{a^2}{8} + 5$ ($x=\frac{a}{4}$)

(3) $a = 8$ のとき

最大値：$f(0) = f(4) = 5$ ($x=0, x=4$), 最小値：$f(2) = - \frac{8^2}{8} + 5 = -8 + 5 = -3$ ($x=2$)

(4) $8 < a \le 16$ のとき

最大値：$f(0) = 5$ ($x=0$), 最小値：$f(\frac{a}{4}) = - \frac{a^2}{8} + 5$ ($x=\frac{a}{4}$)

(5) $a > 16$ のとき

最大値：$f(4) = 5$ ($x=0$), 最小値：$f(0) = 37-4a$ ($x=4$)

3. 最終的な答え

(1) $a < 0$ のとき

最大値：$5$ ($x=0$), 最小値：$37 - 4a$ ($x=4$)

(2) $0 \le a < 8$ のとき

最大値：$37 - 4a$ ($x=4$), 最小値：$- \frac{a^2}{8} + 5$ ($x=\frac{a}{4}$)

(3) $a = 8$ のとき

最大値：$5$ ($x=0, x=4$), 最小値：$-3$ ($x=2$)

(4) $8 < a \le 16$ のとき

最大値：$5$ ($x=0$), 最小値：$- \frac{a^2}{8} + 5$ ($x=\frac{a}{4}$)

(5) $a > 16$ のとき

最大値：$5$ ($x=0$), 最小値：$37 - 4a$ ($x=4$)