$P(x) = x^3 + bx^2 + (2b-3)x - a$ という3次式があり、$P(a) = 0$ が成り立つとする。このとき、$a$と$b$の関係式、因数分解、虚数解を持つ条件などを求める。

1. 問題の内容

$P(x) = x^3 + bx^2 + (2b-3)x - a$ という3次式があり、$P(a) = 0$ が成り立つとする。このとき、$a$と$b$の関係式、因数分解、虚数解を持つ条件などを求める。

2. 解き方の手順

(1) $P(a) = 0$ より、

$a^3 + ba^2 + (2b-3)a - a = 0$

$a^3 + ba^2 + 2ba - 3a - a = 0$

$a^3 + ba^2 + 2ba - 4a = 0$

$a(a^2 + ba + 2b - 4) = 0$

$a \neq 0$ なので、$a^2 + ba + 2b - 4 = 0$

$a^2 + (a+2)b - 4 = 0$

$(a+2)b = 4 - a^2$

$b = \frac{4 - a^2}{a+2} = \frac{(2-a)(2+a)}{a+2} = 2-a$

$b = 2-a$ より、$a = 2 - b$ または $b = 2 - a$

$a = -2$ のとき、 $a^2 + ba + 2b - 4 = 4 - 2b + 2b - 4 = 0$ より $a=-2$ も解。

$a = 2-b$ または $a = -2$

(2) $a = 2 - b$のとき、$P(x) = x^3 + bx^2 + (2b-3)x - (2-b)$

$P(1) = 1 + b + 2b - 3 - 2 + b = 4b - 4$

$a = -2$ のとき、$P(x) = x^3 + bx^2 + (2b-3)x + 2$

$P(-1) = -1 + b - 2b + 3 + 2 = -b + 4$

$P(1) = 0$となるのは、$b = 1$ のとき、$P(x) = x^3 + x^2 - x - 2$

$P(2) = 8 + 4 - 2 - 2 = 8$

$P(-1) = 0$となるのは、$b = 4$ のとき、$P(x) = x^3 + 4x^2 + 5x + 2$

$P(-2) = -8 + 16 - 10 + 2 = 0$

$P(-1) = -1 + 4 - 5 + 2 = 0$

$a = 2 - b$ のとき、

$P(x) = x^3 + bx^2 + (2b - 3)x - (2 - b)$

$P(1) = 1 + b + 2b - 3 - 2 + b = 4b - 4$

$P(x) = (x-1)(x^2 + (b+1)x + b-2+2) = (x-1)(x^2 + (b+1)x + 4)$

$4b-4 = 0 \implies b = 1$

$P(x) = x^3 + x^2 - x - 1 = (x-1)(x^2+2x+1) = (x-1)(x+1)^2$

$x=-1$のとき、$P(x)=0$なので、a,bの値によらない解$x = -1$を持つ。

(3) $a = -2$ のとき、

$P(x) = x^3 + bx^2 + (2b-3)x + 2$

$P(-1) = -1 + b -2b + 3 + 2 = -b + 4$

もし $b = 4$ のとき、$P(x) = x^3 + 4x^2 + 5x + 2 = (x+1)(x+1)(x+2)$

したがって、$P(x) = (x+1)(x^2 + (b-1)x + 2)$

$P(x) = (x+1)(x^2 + (b-1)x + 2)$

(i) $x^2 + (b-1)x + 2 = 0$ が虚数解を持つ条件は、判別式 $D < 0$

$D = (b-1)^2 - 4(1)(2) = b^2 - 2b + 1 - 8 = b^2 - 2b - 7 < 0$

$b = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 28}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{2 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 1 \pm 2\sqrt{2}$

$1 - 2\sqrt{2} < b < 1 + 2\sqrt{2}$

$1 - 2\sqrt{2} \approx 1 - 2(1.414) = 1 - 2.828 = -1.828$

$1 + 2\sqrt{2} \approx 1 + 2(1.414) = 1 + 2.828 = 3.828$

$-1 - 2\sqrt{2} < b < 1 + 2\sqrt{2}$ のとき虚数解を持つ。

$b = c + \frac{3}{5}i$ ($c$は実数) ならば、$P(x)$は実数係数なので共役な解 $c - \frac{3}{5}i$ も持つ。

解は$-1$、$c+\frac{3}{5}i$、$c-\frac{3}{5}i$。

解の和 $= -1 + c + \frac{3}{5}i + c - \frac{3}{5}i = -1 + 2c$

$-1+2c=-b$より、$c = \frac{-b+1}{2}$

$c + \frac{3}{5}i$ が解なので、$x = c+\frac{3}{5}i$を$x^2+(b-1)x+2 = 0$に代入すると

虚数解を持つのは、$1-2\sqrt{2} < b < 1+2\sqrt{2}$のとき

虚数解は$-1$以外の二つの解なので、その和は$-(b-1) = 1-b$

$-1 + 2c = 1-b$

$2c = 2-b$

$c = 1-\frac{b}{2}$

(ii) $x^3 + bx^2 + (2b-3)x + 2 = 0$の3つの解の和が $\frac{4}{3}$ ならば、解と係数の関係から、

$-\frac{b}{1} = \frac{4}{3}$ より $b = -\frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

(1) ア: 2, イ: 4, ウ: 2, エオ: -2

(2) カキ: -1

(3) ク: 1, ケ: 1, コ: 2

(i) サ: 1-2√2, シ: 1+2√2, ス: 1, セ: 2

(ii) ソタ: -4, チ: 3