長方形ABCDから、短い辺ADを一辺とする正方形AEFDを切り取った残りの長方形BCFEが、元の長方形ABCDと相似であるとき、辺の比 $\frac{AB}{AD}$ (黄金比)を求めよ。

## 問題419

1. 問題の内容

長方形ABCDから、短い辺ADを一辺とする正方形AEFDを切り取った残りの長方形BCFEが、元の長方形ABCDと相似であるとき、辺の比 $\frac{AB}{AD}$ (黄金比)を求めよ。

2. 解き方の手順

問題の指示に従い、$AB = x$, $AD = u$ とおく。

長方形ABCDと長方形BCFEが相似であることから、以下の比が等しくなる。

$$\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{FC}$$

$AB=x$, $AD=u$より、$BC=AD=u$, $FC=AB-AE = x-u$であるから、

$$\frac{x}{u} = \frac{u}{x-u}$$

両辺に$u(x-u)$をかけると

$$x(x-u) = u^2$$

$$x^2 - xu = u^2$$

$$x^2 - xu - u^2 = 0$$

両辺を $u^2$ で割ると

$$(\frac{x}{u})^2 - \frac{x}{u} - 1 = 0$$

$\frac{x}{u} = t$ とおくと

$$t^2 - t - 1 = 0$$

この二次方程式を解くと

$$t = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$

$t = \frac{x}{u} = \frac{AB}{AD} > 0$ であるから

$$t = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$$

3. 最終的な答え

黄金比は $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

## 問題420

1. 問題の内容

円筒にろ紙を貼った装置において、ろ紙の面積が $x$ [%] 大きくなると、ろ紙1 cm$^2$あたりからしみ出る水の量は $0.25x$ [%] だけ減少するという。この装置から1分間にしみ出る水の量を14%増加させるには、$x$ をいくらにすべきか。ただし、ろ紙の面積は現在の2倍までとする。

2. 解き方の手順

最初のろ紙の面積を $a$ 、そのときしみ出る水の量を $b$ とおく。

ろ紙の面積が $x$ [%] 大きくなると、ろ紙の面積は $a(1+\frac{x}{100})$ となる。

ろ紙1 cm$^2$ あたりからしみ出る水の量は $0.25x$ [%] だけ減少するので、$(1-\frac{0.25x}{100})$ 倍となる。

したがって、新しいしみ出る水の量は $b(1+\frac{x}{100})(1-\frac{0.25x}{100}) / a$ となる。

問題より、しみ出る水の量を14%増加させる、つまり1.14倍にするには

$$a(1+\frac{x}{100})(1-\frac{0.25x}{100}) = 1.14a$$

$$(1+\frac{x}{100})(1-\frac{0.25x}{100}) = 1.14$$

$$1 + \frac{x}{100} - \frac{0.25x}{100} - \frac{0.25x^2}{10000} = 1.14$$

$$\frac{0.75x}{100} - \frac{0.25x^2}{10000} = 0.14$$

$$0.75x - \frac{0.25x^2}{100} = 14$$

$$75x - \frac{x^2}{4} = 1400$$

$$300x - x^2 = 5600$$

$$x^2 - 300x + 5600 = 0$$

この二次方程式を解くと

$$x = \frac{300 \pm \sqrt{300^2 - 4(1)(5600)}}{2} = \frac{300 \pm \sqrt{90000 - 22400}}{2} = \frac{300 \pm \sqrt{67600}}{2} = \frac{300 \pm 260}{2}$$

$$x = \frac{300+260}{2} = 280 \quad \text{または} \quad x = \frac{300-260}{2} = 20$$

ただし、ろ紙の面積は現在の2倍までなので $a(1+\frac{x}{100}) \le 2a$ つまり $x \le 100$ である必要がある。

したがって $x = 20$

3. 最終的な答え

x = 20