二次方程式 $x^2 - 3x + 7 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$(\alpha^2 + 3\alpha + 7)(\beta^2 - 3\beta + 7)$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

二次方程式 $x^2 - 3x + 7 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$(\alpha^2 + 3\alpha + 7)(\beta^2 - 3\beta + 7)$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\alpha$ と $\beta$ は $x^2 - 3x + 7 = 0$ の解なので、

$\alpha^2 - 3\alpha + 7 = 0$ および $\beta^2 - 3\beta + 7 = 0$ が成り立ちます。

このことから、$\alpha^2 = 3\alpha - 7$ および $\beta^2 = 3\beta - 7$ が導かれます。

与えられた式を以下のように変形します。

$(\alpha^2 + 3\alpha + 7)(\beta^2 - 3\beta + 7) = (3\alpha - 7 + 3\alpha + 7)(3\beta - 7 - 3\beta + 7)$

$= (6\alpha)(0) = 0$

しかし、$\beta^2 - 3\beta + 7 = 0$　を用いると、$\beta^2 - \beta + 7 = 2\beta$となるので、

$(\alpha^2 + 3\alpha + 7)(\beta^2 - \beta + 7) = (3\alpha - 7 + 3\alpha + 7)(2\beta) = (6\alpha)(2\beta) = 12\alpha\beta$

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = 3$ かつ $\alpha\beta = 7$ です。

したがって、

$(\alpha^2 + 3\alpha + 7)(\beta^2 - \beta + 7) = 12 \alpha \beta = 12 \cdot 7 = 84$

3. 最終的な答え

84