以下の4つの式を因数分解する問題です。 (1) $x^2+3xy+2y^2+2x+5y-3$ (2) $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$ (3) $x^4-8x^2-9$ (4) $x^4+4$

1. 問題の内容

以下の4つの式を因数分解する問題です。

(1) $x^2+3xy+2y^2+2x+5y-3$

(2) $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$

(3) $x^4-8x^2-9$

(4) $x^4+4$

2. 解き方の手順

(1) $x^2+3xy+2y^2+2x+5y-3$ を因数分解します。

まず、$x$ について整理すると、

$x^2 + (3y+2)x + (2y^2+5y-3)$

次に、$2y^2+5y-3$ を因数分解します。

$2y^2+5y-3 = (2y-1)(y+3)$

したがって、与式は

$x^2 + (3y+2)x + (2y-1)(y+3)$

$(x+2y-1)(x+y+3)$ と因数分解できます。

(2) $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$ を因数分解します。

$(x-1)(x-7)(x-3)(x-5)+15$ と並び替えます。

$(x^2-8x+7)(x^2-8x+15)+15$

$A = x^2-8x$ とおくと、

$(A+7)(A+15)+15 = A^2+22A+105+15 = A^2+22A+120$

$A^2+22A+120 = (A+10)(A+12)$

$A$ を元に戻すと、

$(x^2-8x+10)(x^2-8x+12) = (x^2-8x+10)(x-2)(x-6)$

したがって、因数分解の結果は $(x-2)(x-6)(x^2-8x+10)$

(3) $x^4-8x^2-9$ を因数分解します。

$A=x^2$ とおくと、

$A^2-8A-9 = (A-9)(A+1)$

$A$ を元に戻すと、

$(x^2-9)(x^2+1) = (x-3)(x+3)(x^2+1)$

したがって、因数分解の結果は $(x-3)(x+3)(x^2+1)$

(4) $x^4+4$ を因数分解します。

$x^4+4 = x^4+4x^2+4 - 4x^2 = (x^2+2)^2 - (2x)^2$

$=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$

したがって、因数分解の結果は $(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$

3. 最終的な答え

(1) $(x+2y-1)(x+y+3)$

(2) $(x-2)(x-6)(x^2-8x+10)$

(3) $(x-3)(x+3)(x^2+1)$

(4) $(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$