与えられた4つの命題（A, B, C, D）の真偽と、命題間の関係を判断し、条件式$x^2 - 5x + 6 = 0$ の否定を求める。

1. 問題の内容

与えられた4つの命題（A, B, C, D）の真偽と、命題間の関係を判断し、条件式$x^2 - 5x + 6 = 0$ の否定を求める。

2. 解き方の手順

(1)

(i) 命題A「$a^2 - 3a + 2 = 0$ ならば $a = 1$ である」の真偽を調べる。

$a^2 - 3a + 2 = (a - 1)(a - 2) = 0$ なので、$a = 1$ または $a = 2$。

したがって、a=2の反例が存在するので、命題Aは偽。

ア = 1

(ii) 命題B「$a^2 - 3a + 2 \neq 0$ ならば $a \neq 1$ である」は命題Aの逆。

命題Aが「$p$ ならば $q$」の形なら、命題Bは「$q$ でない ならば $p$ でない」。

イ = 2

命題Bは、「$a=1$ならば、$a^2 - 3a + 2 = 0$」が真なので、命題Bは真。

ウ = 0

(iii) 命題C「$|x - 5| < 1$ ならば $x^2 > 4$ である」の真偽を調べる。

$|x - 5| < 1$ より、$-1 < x - 5 < 1$ なので、$4 < x < 6$。

この範囲の任意のxについて、$x^2 > 4$が成り立つ。

したがって、命題Cは真。

エ = 0

(iv) 命題D「$x^2 \leq 4$ ならば $|x - 5| \geq 1$ である」の真偽を調べる。

$x^2 \leq 4$ より、$-2 \leq x \leq 2$。

命題Cは、$p$ ならば $q$。

命題Dは、$p$ でない ならば $q$ でない。

つまり、命題Cの裏

オ = 3

命題Dの真偽

$x^2 \leq 4$ より、$-2 \leq x \leq 2$

$|x - 5| \geq 1$ より、$x - 5 \geq 1$ または $x - 5 \leq -1$。

よって、$x \geq 6$ または $x \leq 4$。

$-2 \leq x \leq 2$ は $x \leq 4$ を満たすので、命題Dは真。

力 = 0

(2)

条件「$x^2 - 5x + 6 = 0$」の否定を求める。

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0$ より、$x = 2$ または $x = 3$。

この否定は、$x \neq 2$ かつ $x \neq 3$。

キ = 3

3. 最終的な答え

ア = 1

イ = 2

ウ = 0

エ = 0

オ = 3

力 = 0

キ = 3