与えられた式を因数分解する問題です。今回は、問題 (2) $x^3(y-z) + y^3(z-x) + z^3(x-y)$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた式を因数分解する問題です。今回は、問題 (2) $x^3(y-z) + y^3(z-x) + z^3(x-y)$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開します。

$x^3(y-z) + y^3(z-x) + z^3(x-y) = x^3y - x^3z + y^3z - y^3x + z^3x - z^3y$

次に、この式を整理し、因数分解を行います。この式は交代式なので、$(x-y)$, $(y-z)$, $(z-x)$ を因数に持つことが予想できます。

$x^3y - x^3z + y^3z - y^3x + z^3x - z^3y = x^3y - y^3x - x^3z + z^3x + y^3z - z^3y$

$= xy(x^2 - y^2) - zx(x^2 - z^2) + yz(y^2 - z^2)$

$= xy(x-y)(x+y) - zx(x-z)(x+z) + yz(y-z)(y+z)$

この式を変形して、$(x-y)$, $(y-z)$, $(z-x)$ が現れるようにします。

$xy(x-y)(x+y) - zx(x-z)(x+z) + yz(y-z)(y+z) = -(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)$

以下の計算を行うことで、上記の因数分解が正しいことを確認できます。

まず、$x = y$ のとき、$x^3(y-z) + y^3(z-x) + z^3(x-y) = x^3(x-z) + x^3(z-x) + z^3(x-x) = x^4 - x^3z + x^3z - x^4 + 0 = 0$

よって、$x-y$ は因数です。同様に、$y-z$ と $z-x$ も因数です。

また、元の式は4次式なので、$x-y$, $y-z$, $z-x$ 以外の因数は $x+y+z$ の定数倍になります。

$x=0, y=1, z=2$ を代入すると、$0 + 1(2-0) + 8(0-1) = 2 - 8 = -6$

また、$-(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z) = -(0-1)(1-2)(2-0)(0+1+2) = -(-1)(-1)(2)(3) = -6$

なので、$x+y+z$の係数は$-1$だと分かります。

したがって、$x^3(y-z) + y^3(z-x) + z^3(x-y) = -(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)$

3. 最終的な答え

$-(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)$