$x$の2次方程式 $x^2 + 7ax - 3a^2 + 5 = 0$ が $x = -1$ を解に持つような定数 $a$ の値を求め、その時の他の解を求める。ただし、$a$の値には大小関係の条件がある。

1. 問題の内容

$x$の2次方程式 $x^2 + 7ax - 3a^2 + 5 = 0$ が $x = -1$ を解に持つような定数 $a$ の値を求め、その時の他の解を求める。ただし、$a$の値には大小関係の条件がある。

2. 解き方の手順

(1) $x = -1$ を与えられた2次方程式に代入する。

$(-1)^2 + 7a(-1) - 3a^2 + 5 = 0$

$1 - 7a - 3a^2 + 5 = 0$

$-3a^2 - 7a + 6 = 0$

$3a^2 + 7a - 6 = 0$

この$a$の2次方程式を解く。因数分解を利用する。

$(3a - 2)(a + 3) = 0$

よって、$a = \frac{2}{3}$ または $a = -3$。

問題文の条件より、$a$ の値には大小関係があるため、$a = -3$ と $a = \frac{2}{3}$ となる。

(2) $a = -3$ の時、元の2次方程式は

$x^2 + 7(-3)x - 3(-3)^2 + 5 = 0$

$x^2 - 21x - 27 + 5 = 0$

$x^2 - 21x - 22 = 0$

$(x - 22)(x + 1) = 0$

$x = 22, -1$

$x = -1$ は既知の解なので、他の解は $x = 22$。

$a = \frac{2}{3}$ の時、元の2次方程式は

$x^2 + 7(\frac{2}{3})x - 3(\frac{2}{3})^2 + 5 = 0$

$x^2 + \frac{14}{3}x - \frac{4}{3} + 5 = 0$

$x^2 + \frac{14}{3}x + \frac{11}{3} = 0$

$3x^2 + 14x + 11 = 0$

$(3x + 11)(x + 1) = 0$

$x = -\frac{11}{3}, -1$

$x = -1$ は既知の解なので、他の解は $x = -\frac{11}{3}$。

3. 最終的な答え

(1) $a = -3, \frac{2}{3}$ （ただし、$-3 < \frac{2}{3}$）

(2) $a = -3$ のとき、他の解は $x = 22$。

$a = \frac{2}{3}$ のとき、他の解は $x = -\frac{11}{3}$。