この問題は、2次関数の平行移動、グラフの決定、最大値・最小値、解の存在範囲など、2次関数に関する様々な問題をまとめたものです。具体的には、放物線の平行移動、3点を通る放物線の決定、放物線の対称移動と平行移動、定義域が与えられたときの2次関数の最大値、グラフの情報から係数を求める問題、2次方程式の解の条件、2次不等式の解の条件が出題されています。

## 問題の回答

1. 問題の内容

この問題は、2次関数の平行移動、グラフの決定、最大値・最小値、解の存在範囲など、2次関数に関する様々な問題をまとめたものです。具体的には、放物線の平行移動、3点を通る放物線の決定、放物線の対称移動と平行移動、定義域が与えられたときの2次関数の最大値、グラフの情報から係数を求める問題、2次方程式の解の条件、2次不等式の解の条件が出題されています。

2. 解き方の手順

**1 (1)**

* $y = x^2 + 4x + 5$ を平方完成すると $y = (x+2)^2 + 1$ となります。

* $y = x^2 - 6x + 8$ を平方完成すると $y = (x-3)^2 - 1$ となります。

* 頂点の移動を考えます。$(-2, 1)$ から $(3, -1)$ へ移動するには、$x$ 軸方向に $3 - (-2) = 5$、$y$ 軸方向に $-1 - 1 = -2$ だけ平行移動すればよいことがわかります。

**1 (2)**

* 求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおきます。

* 3点 A(1, 4), B(0, 2), C(-2, 16) を通ることから、以下の3つの式が得られます。

* $a + b + c = 4$

* $c = 2$

* $4a - 2b + c = 16$

* これらの連立方程式を解いて、$a$, $b$, $c$ の値を求めます。

**2**

* $y = 3x^2 + 6x + 5$ を原点に関して対称移動すると、$y$ が $-y$ に、$x$ が $-x$ に変わるので、$-y = 3(-x)^2 + 6(-x) + 5$ となります。これを整理すると、$y = -3x^2 + 6x + 5$ となります。

* さらに、$x$ 軸方向に 2, $y$ 軸方向に -3 だけ平行移動するので、$x$ を $x-2$ に、$y$ を $y+3$ に置き換えます。

* $y+3 = -3(x-2)^2 + 6(x-2) + 5$ となり、これを整理することで移動後の放物線の方程式を求めます。

* 最後に、得られた放物線の方程式を平方完成し、頂点の座標を求めます。

**3**

* 放物線 $y=x^2$ を $x$ 軸に関して対称移動すると、 $y = -x^2$ となります。

* この放物線を $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動すると、 $y = -(x+2)^2 + 3$ となります。

* さらに、$x$ 軸に関して対称移動すると、 $y = (x+2)^2 - 3$ となります。

* これが「平面上の放物線を$x$軸に関して対称移動し、次に$x$軸方向に$-2$, $y$軸方向に$3$だけ平行移動してから、再び$x$軸に関して対称移動」した結果なので、最初にあった放物線は、$y = (x+2)^2 - 3$ を逆の操作で戻すことで求められます。つまり、

* $x$ 軸に関して対称移動：$y \to -y$

* $x$軸方向に2, $y$軸方向に$-3$だけ平行移動: $x \to x-2, y \to y+3$

* $x$軸に関して対称移動: $y \to -y$

* $y = x^2$から逆にたどると：

* $y \to -y$： $y = -x^2$

* $x \to x+2, y \to y-3$： $y-3 = -(x+2)^2$ つまり $y = -(x+2)^2 + 3$

* $y \to -y$：$y = (x+2)^2 - 3 = x^2 + 4x + 1$

**4 (1)**

* $y = -x^2 + 4x$ を平方完成すると $y = -(x-2)^2 + 4$ となります。

* この放物線の頂点は $(2, 4)$ で、上に凸の放物線です。

* 定義域 $a \le x \le a+2$ における最大値が 3 である条件を考えます。

* 軸 $x=2$ が定義域に含まれるかどうかで場合分けし、$a$ の値を求めます。

**4 (2)**

* 同様に、最大値が 4 である条件を考え、軸 $x=2$ が定義域に含まれるかどうかで場合分けし、$a$ の値の範囲を求めます。

**5 (1)**

* $y = ax^2 + bx + c$ が点 $(4, -4)$ を通ることから、$16a + 4b + c = -4$ が成り立ちます。

* $x = 2$ で最大値 8 をとることから、頂点の $x$ 座標が 2 であり、$y = a(x-2)^2 + 8$ と表せます。

* この式を展開し、$y = ax^2 - 4ax + 4a + 8$ となり、係数を比較することで $b = -4a$、$c = 4a + 8$ が得られます。

* これらの関係式を $16a + 4b + c = -4$ に代入し、$a$ の値を求めます。

* $a$ の値から $b$ と $c$ の値を求めます。

**5 (2)**

* $y = -x^2 + ax - a$ を平方完成すると $y = -(x - a/2)^2 + a^2/4 - a$ となります。

* 軸 $x = a/2$ が定義域 $0 \le x \le 5$ に含まれるかどうかで場合分けします。

* $0 \le a/2 \le 5$ のとき、最大値は $a^2/4 - a$ となり、$a^2/4 - a = 3$ を解きます。

* $a/2 < 0$ または $a/2 > 5$ のとき、最大値は $x=0$ または $x=5$ のいずれかでとります。

* それぞれの最大値を計算し、最大値が 3 となる $a$ の値を求めます。

**6 (1)**

* 2次方程式 $x^2 + 2(k-3)x + 2k - 6 = 0$ が重解を持つ条件は、判別式 $D = 0$ となることです。

* 判別式 $D = (2(k-3))^2 - 4(2k - 6) = 0$ を解いて、$k$ の値を求めます。

**6 (2)**

* 2次方程式 $(k-1)x^2 + 3x - 1 = 0$ が異なる2つの実数解を持つ条件は、

* $k-1 \ne 0$

* 判別式 $D = 3^2 - 4(k-1)(-1) > 0$ となることです。

* これらの条件を満たす $k$ の値の範囲を求めます。

**7 (1)**

* 2次方程式 $3x^2 - 2kx + k = 0$ が実数解を持たない条件は、判別式 $D < 0$ となることです。

* 判別式 $D = (-2k)^2 - 4(3)(k) < 0$ を解いて、$k$ の値の範囲を求めます。

**7 (2)**

* 2次不等式 $x^2 + 2mx + 6m - 5 > 0$ の解がすべての実数である条件は、

* $x^2$ の係数が正 (この場合は 1 で正)

* 判別式 $D < 0$ となることです。

* 判別式 $D = (2m)^2 - 4(6m - 5) < 0$ を解いて、$m$ の値の範囲を求めます。

3. 最終的な答え

スペースの都合上、最終的な答えのみ記載します。

上記手順に従って計算してください。

* 1 (1): $x$ 軸方向に 5, $y$ 軸方向に -2

* 1 (2): $y = 3x^2 - x + 2$

* 2: $y = -3x^2 + 18x - 22$, 頂点 (3, 5)

* 3: $y = x^2 + 4x + 1$

* 4 (1): $a = 1$

* 4 (2): $0 \le a \le 2$

* 5 (1): $a = -2, b = 8, c = 0$

* 5 (2): $a = 2, a = 6$

* 6 (1): $k = 3$

* 6 (2): $k < 13/4$ かつ $k \ne 1$

* 7 (1): $0 < k < 3$

* 7 (2): $3 - \sqrt{14} < m < 3 + \sqrt{14}$