与えられた二次関数のグラフの軸の方程式と頂点の座標を求める問題です。対象の関数は以下の通りです。 (2) $y = -x^2 + 2x + 3$ (3) $y = 2x^2 - 8x + 5$ (4) $y = 2x^2 - 3x - 2$ (5) $y = -2x^2 - 6x + 8$ (6) $y = \frac{1}{2}x^2 + 2x$

1. 問題の内容

与えられた二次関数のグラフの軸の方程式と頂点の座標を求める問題です。対象の関数は以下の通りです。

(2) $y = -x^2 + 2x + 3$

(3) $y = 2x^2 - 8x + 5$

(4) $y = 2x^2 - 3x - 2$

(5) $y = -2x^2 - 6x + 8$

(6) $y = \frac{1}{2}x^2 + 2x$

2. 解き方の手順

各二次関数を平方完成の形に変形し、頂点の座標を求めます。平方完成された式は、$y = a(x-p)^2 + q$の形になり、頂点の座標は$(p, q)$、軸の方程式は$x = p$となります。

(2) $y = -x^2 + 2x + 3$

$y = -(x^2 - 2x) + 3$

$y = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 3$

$y = -(x - 1)^2 + 1 + 3$

$y = -(x - 1)^2 + 4$

頂点の座標: $(1, 4)$

軸の方程式: $x = 1$

(3) $y = 2x^2 - 8x + 5$

$y = 2(x^2 - 4x) + 5$

$y = 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 5$

$y = 2(x - 2)^2 - 8 + 5$

$y = 2(x - 2)^2 - 3$

頂点の座標: $(2, -3)$

軸の方程式: $x = 2$

(4) $y = 2x^2 - 3x - 2$

$y = 2(x^2 - \frac{3}{2}x) - 2$

$y = 2(x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} - \frac{9}{16}) - 2$

$y = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} - 2$

$y = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} - \frac{16}{8}$

$y = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{25}{8}$

頂点の座標: $(\frac{3}{4}, -\frac{25}{8})$

軸の方程式: $x = \frac{3}{4}$

(5) $y = -2x^2 - 6x + 8$

$y = -2(x^2 + 3x) + 8$

$y = -2(x^2 + 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) + 8$

$y = -2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2} + 8$

$y = -2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2} + \frac{16}{2}$

$y = -2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{25}{2}$

頂点の座標: $(-\frac{3}{2}, \frac{25}{2})$

軸の方程式: $x = -\frac{3}{2}$

(6) $y = \frac{1}{2}x^2 + 2x$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 4x)$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 4x + 4 - 4)$

$y = \frac{1}{2}(x + 2)^2 - 2$

頂点の座標: $(-2, -2)$

軸の方程式: $x = -2$

3. 最終的な答え

(2)

頂点の座標: $(1, 4)$

軸の方程式: $x = 1$

(3)

頂点の座標: $(2, -3)$

軸の方程式: $x = 2$

(4)

頂点の座標: $(\frac{3}{4}, -\frac{25}{8})$

軸の方程式: $x = \frac{3}{4}$

(5)

頂点の座標: $(-\frac{3}{2}, \frac{25}{2})$

軸の方程式: $x = -\frac{3}{2}$

(6)

頂点の座標: $(-2, -2)$

軸の方程式: $x = -2$