初項から第3項までの和が-7、初項から第6項までの和が182である等比数列の初項 $a$ と公比 $r$ を求める問題です。ただし、$r$ は実数とします。

1. 問題の内容

初項から第3項までの和が-7、初項から第6項までの和が182である等比数列の初項 $a$ と公比 $r$ を求める問題です。ただし、$r$ は実数とします。

2. 解き方の手順

等比数列の和の公式を利用します。初項を $a$、公比を $r$ とすると、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$r \ne 1$ のとき

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

$r = 1$ のとき

$S_n = na$

で表されます。

問題文より、

$S_3 = \frac{a(1-r^3)}{1-r} = -7$ ...(1)

$S_6 = \frac{a(1-r^6)}{1-r} = 182$ ...(2)

ただし、$r \ne 1$ と仮定します。$r=1$の場合は後で検討します。

(2)を(1)で割ると、

$\frac{S_6}{S_3} = \frac{1-r^6}{1-r^3} = \frac{(1-r^3)(1+r^3)}{1-r^3} = 1+r^3 = \frac{182}{-7} = -26$

したがって、

$1+r^3 = -26$

$r^3 = -27$

$r = -3$

これを(1)に代入すると、

$\frac{a(1-(-3)^3)}{1-(-3)} = \frac{a(1-(-27))}{4} = \frac{28a}{4} = 7a = -7$

$a = -1$

$r=1$ の場合を検討します。

$S_3 = 3a = -7$ より $a = -\frac{7}{3}$

$S_6 = 6a = 182$ より $a = \frac{182}{6} = \frac{91}{3}$

これは矛盾するので、$r=1$ は解ではありません。

3. 最終的な答え

初項 $a = -1$、公比 $r = -3$