実数全体を全体集合とし、部分集合 $A = \{x | 7 \le x \le 13\}$、 $B = \{x | 6 \le x \le a\}$、 $C = \{x | \frac{a}{2} \le x \le 17\}$ について考える。$\overline{A} \cap B$ かつ $A \cap C \ne \emptyset$ となるような自然数 $a$ の個数を求めよ。

1. 問題の内容

実数全体を全体集合とし、部分集合 $A = \{x | 7 \le x \le 13\}$、 $B = \{x | 6 \le x \le a\}$、 $C = \{x | \frac{a}{2} \le x \le 17\}$ について考える。$\overline{A} \cap B$ かつ $A \cap C \ne \emptyset$ となるような自然数 $a$ の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\overline{A}$ を求める。$A = \{x | 7 \le x \le 13\}$ であるから、$\overline{A} = \{x | x < 7 \text{ または } x > 13\}$ である。

次に、$\overline{A} \cap B$ を考える。$B = \{x | 6 \le x \le a\}$ であるから、

$\overline{A} \cap B = \{x | 6 \le x < 7 \text{ または } 13 < x \le a\}$ となる。

$A \cap C \ne \emptyset$ であるためには、$A$ と $C$ が共通部分を持つ必要がある。

$A = \{x | 7 \le x \le 13\}$、 $C = \{x | \frac{a}{2} \le x \le 17\}$ であるから、$A \cap C \ne \emptyset$ となる条件は $\frac{a}{2} \le 13$ である。つまり、$a \le 26$ となる。

$\overline{A} \cap B$ の条件より、$13 < a$ である必要がある。また、$a$ は自然数なので、$a$ は 14 以上の整数である必要がある。

よって、$13 < a \le 26$ であり、$a$ は自然数なので、$14 \le a \le 26$ となる。

$a$ は自然数なので、$a$ の個数は $26 - 14 + 1 = 13$ 個である。

3. 最終的な答え

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