問題は次の2つの条件を満たす実数 $k$ の範囲を求める問題です。 (1) 放物線 $y = kx^2 - 2kx + 2k - 1$ が常に $x$ 軸より上方にある。 (2) 放物線 $y = -x^2 + kx - (k - 1)$ が常に直線 $y = -2x + 3$ の下方にある。

1. 問題の内容

問題は次の2つの条件を満たす実数 $k$ の範囲を求める問題です。

(1) 放物線 $y = kx^2 - 2kx + 2k - 1$ が常に $x$ 軸より上方にある。

(2) 放物線 $y = -x^2 + kx - (k - 1)$ が常に直線 $y = -2x + 3$ の下方にある。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $y = kx^2 - 2kx + 2k - 1$ が常に $x$ 軸より上方にあるための条件を考えます。

- $k > 0$ (上に凸である必要がある)

- 判別式 $D < 0$ (実数解を持たない必要がある)

判別式 $D$ は、

$D = (-2k)^2 - 4 \cdot k \cdot (2k - 1) = 4k^2 - 8k^2 + 4k = -4k^2 + 4k$

$D < 0$ より

$-4k^2 + 4k < 0$

$4k(1 - k) < 0$

$k(k - 1) > 0$

よって、$k < 0$ または $k > 1$

$k > 0$ と $k < 0$ または $k > 1$ を満たすのは $k > 1$

(2) 放物線 $y = -x^2 + kx - (k - 1)$ が常に直線 $y = -2x + 3$ の下方にあるための条件を考えます。

$-x^2 + kx - (k - 1) < -2x + 3$

$-x^2 + (k + 2)x - k + 1 - 3 < 0$

$-x^2 + (k + 2)x - k - 2 < 0$

$x^2 - (k + 2)x + k + 2 > 0$

この不等式がすべての $x$ について成り立つためには、

判別式 $D < 0$ である必要があります。

$D = (k + 2)^2 - 4(k + 2) = (k + 2)(k + 2 - 4) = (k + 2)(k - 2)$

$(k + 2)(k - 2) < 0$

$-2 < k < 2$

(1)と(2)の結果を合わせて、$k > 1$ と $-2 < k < 2$ を満たす $k$ の範囲は $1 < k < 2$

3. 最終的な答え

$1 < k < 2$