(1) $a(x+y)^2 + b(x-y)^2 = x^2 + y^2$ が $x, y$ についての恒等式となるように、定数 $a, b$ の値を求めます。 (2) $x^2 - y^2 - ax + 4y - 3 = (x+y+b)(x-y+c)$ が $x, y$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求めます。

1. 問題の内容

(1) $a(x+y)^2 + b(x-y)^2 = x^2 + y^2$ が $x, y$ についての恒等式となるように、定数 $a, b$ の値を求めます。

(2) $x^2 - y^2 - ax + 4y - 3 = (x+y+b)(x-y+c)$ が $x, y$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

左辺を展開します。

$a(x^2 + 2xy + y^2) + b(x^2 - 2xy + y^2) = x^2 + y^2$

$(a+b)x^2 + (2a-2b)xy + (a+b)y^2 = x^2 + y^2$

これが恒等式となるためには、各項の係数が等しくなければなりません。

したがって、

$a+b = 1$

$2a-2b = 0$

$a+b = 1$

$2a - 2b = 0$ より $a = b$

$a+b = 1$ に代入して、 $a+a=1$ つまり $2a=1$ よって $a = \frac{1}{2}$

したがって $b = \frac{1}{2}$

(2)

右辺を展開します。

$(x+y+b)(x-y+c) = x^2 - xy + cx + xy - y^2 + cy + bx - by + bc = x^2 - y^2 + (b+c)x + (c-b)y + bc$

与式は

$x^2 - y^2 - ax + 4y - 3 = x^2 - y^2 + (b+c)x + (c-b)y + bc$

これが恒等式となるためには、各項の係数が等しくなければなりません。

したがって、

$-a = b+c$

$4 = c-b$

$-3 = bc$

$c = b+4$ を $-3 = bc$ に代入して、 $-3 = b(b+4)$

$b^2 + 4b + 3 = 0$

$(b+1)(b+3) = 0$

$b = -1$ または $b = -3$

$b = -1$ のとき $c = -1 + 4 = 3$

このとき $-a = b+c = -1+3 = 2$ より $a = -2$

$b = -3$ のとき $c = -3 + 4 = 1$

このとき $-a = b+c = -3+1 = -2$ より $a = 2$

$b=-1, c=3$ のとき $bc = -3$

$b=-3, c=1$ のとき $bc = -3$

したがって、$a = -2, b = -1, c = 3$

または $a = 2, b = -3, c = 1$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{2}, b = \frac{1}{2}$

(2) $a = -2, b = -1, c = 3$ または $a = 2, b = -3, c = 1$