放物線 $y = 5x^2 + 3kx - 6k$ の頂点をPとする。$k$ がすべての実数の値をとるとき、点Pの軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = 5x^2 + 3kx - 6k$ の頂点をPとする。$k$ がすべての実数の値をとるとき、点Pの軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、放物線を平方完成して頂点の座標を求める。

$y = 5x^2 + 3kx - 6k$

$y = 5(x^2 + \frac{3}{5}kx) - 6k$

$y = 5(x + \frac{3k}{10})^2 - 5(\frac{3k}{10})^2 - 6k$

$y = 5(x + \frac{3k}{10})^2 - \frac{9k^2}{20} - 6k$

よって、頂点Pの座標は $(-\frac{3k}{10}, -\frac{9k^2}{20} - 6k)$ となる。

次に、頂点Pの座標を $(X, Y)$ とおくと、

$X = -\frac{3k}{10}$

$Y = -\frac{9k^2}{20} - 6k$

$k$ を消去するために、$X$ の式から $k$ を求めると、

$k = -\frac{10}{3}X$

これを $Y$ の式に代入すると、

$Y = -\frac{9}{20}(-\frac{10}{3}X)^2 - 6(-\frac{10}{3}X)$

$Y = -\frac{9}{20} \cdot \frac{100}{9}X^2 + 20X$

$Y = -5X^2 + 20X$

$k$ はすべての実数値をとるので、$X$ はすべての実数値をとることができる。

したがって、求める軌跡は放物線 $y = -5x^2 + 20x$ である。

3. 最終的な答え

$y = -5x^2 + 20x$