与えられた3つの等式が、$x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を定める問題です。ここでは、(2)の $\frac{7x-6}{2x^2+3x-2} = \frac{a}{x+2} + \frac{b}{2x-1}$ について解きます。

1. 問題の内容

与えられた3つの等式が、$x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を定める問題です。ここでは、(2)の

$\frac{7x-6}{2x^2+3x-2} = \frac{a}{x+2} + \frac{b}{2x-1}$

について解きます。

2. 解き方の手順

与えられた等式の右辺を通分します。

$\frac{a}{x+2} + \frac{b}{2x-1} = \frac{a(2x-1) + b(x+2)}{(x+2)(2x-1)} = \frac{2ax - a + bx + 2b}{2x^2+3x-2} = \frac{(2a+b)x + (2b-a)}{2x^2+3x-2}$

与式は

$\frac{7x-6}{2x^2+3x-2} = \frac{(2a+b)x + (2b-a)}{2x^2+3x-2}$

となるので、分子を比較して以下の連立方程式を得ます。

$2a + b = 7$

$2b - a = -6$

1つ目の式を2倍して、

$4a + 2b = 14$

2つ目の式と連立させます。

$4a + 2b = 14$

$-a + 2b = -6$

上の式から下の式を引くと

$5a = 20$

$a = 4$

これを $2a + b = 7$ に代入すると

$2(4) + b = 7$

$8 + b = 7$

$b = -1$

3. 最終的な答え

$a = 4, b = -1$