$x > 1$ かつ $y > 4$ のとき、不等式 $xy + 4 > 4x + y$ を証明する。

1. 問題の内容

$x > 1$ かつ $y > 4$ のとき、不等式 $xy + 4 > 4x + y$ を証明する。

2. 解き方の手順

不等式の証明では、差を取って正であることを示すのが一般的です。

$xy + 4 > 4x + y$ を示すために、$xy + 4 - (4x + y) > 0$ を示すことを目指します。

まず、$xy + 4 - (4x + y)$ を因数分解することを考えます。

$xy + 4 - 4x - y = xy - 4x - y + 4 = x(y - 4) - (y - 4) = (x - 1)(y - 4)$

したがって、$xy + 4 - (4x + y) = (x - 1)(y - 4)$となります。

ここで、$x > 1$ より $x - 1 > 0$ であり、$y > 4$ より $y - 4 > 0$ であることがわかります。

したがって、$(x - 1)(y - 4) > 0$ となります。

つまり、$xy + 4 - (4x + y) > 0$ が成り立つので、$xy + 4 > 4x + y$ が証明されました。

3. 最終的な答え

$x > 1$ かつ $y > 4$ のとき、$xy + 4 > 4x + y$ は成り立つ。