与えられた2次式 $x^2 + (5y+1)x + (2y-1)(3y+2)$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた2次式 $x^2 + (5y+1)x + (2y-1)(3y+2)$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

2次式を因数分解するために、以下の形式を目指します。

$(x + A)(x + B)$

ここで、$A$と$B$は定数または $y$ の式です。

このとき、$A + B = 5y + 1$ かつ $AB = (2y - 1)(3y + 2)$ となる $A$ と $B$ を見つける必要があります。

まず、$AB$ を展開します。

$(2y - 1)(3y + 2) = 6y^2 + 4y - 3y - 2 = 6y^2 + y - 2$

次に、$A + B = 5y + 1$ と $AB = 6y^2 + y - 2$ を満たす $A$ と $B$ を探します。

$6y^2 + y - 2$ を因数分解することを考えます。 $(2y - 1)(3y + 2)$ ですので、この形の組み合わせで $A + B = 5y + 1$ となるかを確認します。

$A = 2y - 1$ と $B = 3y + 2$ とすると、$A + B = (2y - 1) + (3y + 2) = 5y + 1$ となり、条件を満たします。

したがって、与えられた2次式は次のように因数分解できます。

$(x + (2y - 1))(x + (3y + 2))$

3. 最終的な答え

$(x + 2y - 1)(x + 3y + 2)$