与えられた式 $a^2 + b^2 + bc - ca - 2ab$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2 + b^2 + bc - ca - 2ab$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

与えられた式を整理して因数分解しやすい形にする。まず、$a$ について整理する。

$a^2 - (2b + c)a + b^2 + bc$

次に、平方完成を試みる。

$a^2 - 2(b + \frac{c}{2})a + (b + \frac{c}{2})^2 - (b + \frac{c}{2})^2 + b^2 + bc$

$(a - (b + \frac{c}{2}))^2 - (b^2 + bc + \frac{c^2}{4}) + b^2 + bc$

$(a - b - \frac{c}{2})^2 - b^2 - bc - \frac{c^2}{4} + b^2 + bc$

$(a - b - \frac{c}{2})^2 - \frac{c^2}{4}$

$(a - b - \frac{c}{2})^2 - (\frac{c}{2})^2$

これは差の二乗の形なので、$A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ を利用する。

$[(a - b - \frac{c}{2}) + \frac{c}{2}][(a - b - \frac{c}{2}) - \frac{c}{2}]$

$(a - b - \frac{c}{2} + \frac{c}{2})(a - b - \frac{c}{2} - \frac{c}{2})$

$(a - b)(a - b - c)$

3. 最終的な答え

$(a-b)(a-b-c)$