$(2-x)^{10}$ の展開式における $x^7$ の項の係数を求めよ。

1. 問題の内容

$(2-x)^{10}$ の展開式における $x^7$ の項の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

二項定理より、$(a+b)^n$ の展開式における $a^{n-r}b^r$ の項の係数は $_nC_r$ で表される。

この問題の場合、$a = 2$、$b = -x$、$n = 10$ である。

$x^7$ の項を求めるので、$(-x)^r$ において $r = 7$ である必要がある。

したがって、$2^{10-7}(-x)^7$ の項の係数は $_{10}C_7$ である。

$_{10}C_7 = \frac{10!}{7!3!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

$2^{10-7} = 2^3 = 8$

$(-x)^7 = -x^7$

したがって、$x^7$ の項の係数は、

$_{10}C_7 \times 2^3 \times (-1)^7 = 120 \times 8 \times (-1) = -960$

3. 最終的な答え

-960