行列 $A$, ベクトル $b$, $c'$, $d$ が与えられている。 (1) $b c' d$ を求めよ。 (2) (1) で求めた積の第2成分を$\sum$を用いて表せ。 (3) $A b c' d$ の(2,1)成分を$\sum$を用いて表せ。

## 問題1

1. 問題の内容

行列 $A$, ベクトル $b$, $c'$, $d$ が与えられている。

(1) $b c' d$ を求めよ。

(2) (1) で求めた積の第2成分を$\sum$を用いて表せ。

(3) $A b c' d$ の(2,1)成分を$\sum$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$b c'$を計算する。これは列ベクトルと行ベクトルの積なので行列になる。

$b c' = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 c_1 & b_1 c_2 & b_1 c_3 \\ b_2 c_1 & b_2 c_2 & b_2 c_3 \\ b_3 c_1 & b_3 c_2 & b_3 c_3 \end{pmatrix}$

次に、この行列に$d$を右から掛ける。

$b c' d = \begin{pmatrix} b_1 c_1 & b_1 c_2 & b_1 c_3 \\ b_2 c_1 & b_2 c_2 & b_2 c_3 \\ b_3 c_1 & b_3 c_2 & b_3 c_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 c_1 d_1 + b_1 c_2 d_2 + b_1 c_3 d_3 \\ b_2 c_1 d_1 + b_2 c_2 d_2 + b_2 c_3 d_3 \\ b_3 c_1 d_1 + b_3 c_2 d_2 + b_3 c_3 d_3 \end{pmatrix}$

(2) $b c' d$の第2成分は$b_2 c_1 d_1 + b_2 c_2 d_2 + b_2 c_3 d_3$である。これを$\sum$で表すと、

$b_2 c_1 d_1 + b_2 c_2 d_2 + b_2 c_3 d_3 = \sum_{i=1}^{3} b_2 c_i d_i$

(3) $A b$を計算する。

$A b = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} b_1 + a_{12} b_2 + a_{13} b_3 \\ a_{21} b_1 + a_{22} b_2 + a_{23} b_3 \end{pmatrix}$

次に、$(A b) c'$を計算する。

$(A b) c' = \begin{pmatrix} a_{11} b_1 + a_{12} b_2 + a_{13} b_3 \\ a_{21} b_1 + a_{22} b_2 + a_{23} b_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (a_{11} b_1 + a_{12} b_2 + a_{13} b_3)c_1 & (a_{11} b_1 + a_{12} b_2 + a_{13} b_3)c_2 & (a_{11} b_1 + a_{12} b_2 + a_{13} b_3)c_3 \\ (a_{21} b_1 + a_{22} b_2 + a_{23} b_3)c_1 & (a_{21} b_1 + a_{22} b_2 + a_{23} b_3)c_2 & (a_{21} b_1 + a_{22} b_2 + a_{23} b_3)c_3 \end{pmatrix}$

最後に、$(A b) c' d$を計算する。

$(A b) c' d = \begin{pmatrix} (a_{11} b_1 + a_{12} b_2 + a_{13} b_3)c_1 & (a_{11} b_1 + a_{12} b_2 + a_{13} b_3)c_2 & (a_{11} b_1 + a_{12} b_2 + a_{13} b_3)c_3 \\ (a_{21} b_1 + a_{22} b_2 + a_{23} b_3)c_1 & (a_{21} b_1 + a_{22} b_2 + a_{23} b_3)c_2 & (a_{21} b_1 + a_{22} b_2 + a_{23} b_3)c_3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{pmatrix}$

$(A b c' d)_{21} = (a_{21} b_1 + a_{22} b_2 + a_{23} b_3)c_1d_1 + (a_{21} b_1 + a_{22} b_2 + a_{23} b_3)c_2d_2 + (a_{21} b_1 + a_{22} b_2 + a_{23} b_3)c_3d_3$

$= \sum_{k=1}^3 (a_{21} b_1 + a_{22} b_2 + a_{23} b_3) c_k d_k = \sum_{k=1}^3 (\sum_{j=1}^3 a_{2j} b_j) c_k d_k = \sum_{k=1}^3 \sum_{j=1}^3 a_{2j} b_j c_k d_k$

3. 最終的な答え

(1) $b c' d = \begin{pmatrix} b_1 c_1 d_1 + b_1 c_2 d_2 + b_1 c_3 d_3 \\ b_2 c_1 d_1 + b_2 c_2 d_2 + b_2 c_3 d_3 \\ b_3 c_1 d_1 + b_3 c_2 d_2 + b_3 c_3 d_3 \end{pmatrix}$

(2) $\sum_{i=1}^{3} b_2 c_i d_i$

(3) $\sum_{k=1}^3 \sum_{j=1}^3 a_{2j} b_j c_k d_k$

## 問題2

1. 問題の内容

2つの粒子の衝突問題。与えられた連立方程式を解く。

$m_1 = 5 kg, m_2 = 1 kg, v_1 = 2 m/s, v_2 = -8 m/s$

$\begin{cases} m_1 v_1' + m_2 v_2' = m_1 v_1 + m_2 v_2 \\ v_1' - v_2' = -0.5 (v_1 - v_2) \end{cases}$

(1) 上記の方程式に数値を代入し、単位を割って$V_1, V_2$に関する方程式を求める。ここで、$v_1'/ms^{-1} = V_1, v_2'/ms^{-1} = V_2$とする。

(2) (1)で求めた方程式をガウス・ジョルダンの消去法で解く。

(3) $v_1', v_2'$を求める。

2. 解き方の手順

(1) 数値を代入する。

$\begin{cases} 5 v_1' + 1 v_2' = 5(2) + 1(-8) \\ v_1' - v_2' = -0.5 (2 - (-8)) \end{cases}$

$\begin{cases} 5 v_1' + v_2' = 10 - 8 \\ v_1' - v_2' = -0.5 (10) \end{cases}$

$\begin{cases} 5 v_1' + v_2' = 2 \\ v_1' - v_2' = -5 \end{cases}$

単位で割ると、

$\begin{cases} 5 V_1 + V_2 = 2 \\ V_1 - V_2 = -5 \end{cases}$

(2) ガウス・ジョルダンの消去法で解く。

$\begin{pmatrix} 5 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -5 \end{pmatrix}$

1行目と2行目を入れ替える。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -5 \\ 5 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

2行目から1行目の5倍を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -5 \\ 0 & 6 & 27 \end{pmatrix}$

2行目を6で割る。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -5 \\ 0 & 1 & 4.5 \end{pmatrix}$

1行目に2行目を足す。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -0.5 \\ 0 & 1 & 4.5 \end{pmatrix}$

よって、$V_1 = -0.5, V_2 = 4.5$

(3) $v_1' = V_1 \times (1 m/s) = -0.5 m/s$

$v_2' = V_2 \times (1 m/s) = 4.5 m/s$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{cases} 5 V_1 + V_2 = 2 \\ V_1 - V_2 = -5 \end{cases}$

(2) $V_1 = -0.5, V_2 = 4.5$

(3) $v_1' = -0.5 m/s, v_2' = 4.5 m/s$