問題237の(1)は、数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が与えられたときに、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。$S_n = 2n^2 + 5n$ と与えられています。

1. 問題の内容

問題237の(1)は、数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が与えられたときに、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。$S_n = 2n^2 + 5n$ と与えられています。

2. 解き方の手順

数列の和 $S_n$ から一般項 $a_n$ を求めるには、以下の関係式を利用します。

$n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$

$n = 1$ のとき、$a_1 = S_1$

まず、$a_1$ を求めます。$S_n = 2n^2 + 5n$ に $n=1$ を代入すると、

$S_1 = 2(1)^2 + 5(1) = 2 + 5 = 7$

したがって、$a_1 = 7$ です。

次に、$n \geq 2$ のときの $a_n$ を求めます。$a_n = S_n - S_{n-1}$ を計算します。

$S_n = 2n^2 + 5n$

$S_{n-1} = 2(n-1)^2 + 5(n-1) = 2(n^2 - 2n + 1) + 5n - 5 = 2n^2 - 4n + 2 + 5n - 5 = 2n^2 + n - 3$

$a_n = S_n - S_{n-1} = (2n^2 + 5n) - (2n^2 + n - 3) = 2n^2 + 5n - 2n^2 - n + 3 = 4n + 3$

したがって、$n \geq 2$ のとき、$a_n = 4n + 3$ です。

最後に、$a_n = 4n + 3$ が $n = 1$ のときにも成り立つかを確認します。$a_1 = 4(1) + 3 = 7$ であり、$a_1 = S_1 = 7$ と一致します。したがって、すべての $n$ に対して $a_n = 4n + 3$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = 4n + 3$