以下の式を因数分解します。 (5) $3m^2ab - 6ma^2b$ (7) $x^2 - x - 12$ (9) $x^5 - 4x^3$ (11) $a^3 + 2a^2b - 4ab^2 - 8b^3$ (13) $x^4 + x^2 + 1$ (6) $25a^2 - 20a + 4$ (8) $3x^2 + 15x + 18$ (10) $x^2 + y^2 + 2yz - 2zx - 2xy$ (12) $x^2 - 3xy + 2y^2 - x + 3y - 2$ (14) $(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) - 9$

はい、承知いたしました。画像にある次の数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の式を因数分解します。

(5) $3m^2ab - 6ma^2b$

(7) $x^2 - x - 12$

(9) $x^5 - 4x^3$

(11) $a^3 + 2a^2b - 4ab^2 - 8b^3$

(13) $x^4 + x^2 + 1$

(6) $25a^2 - 20a + 4$

(8) $3x^2 + 15x + 18$

(10) $x^2 + y^2 + 2yz - 2zx - 2xy$

(12) $x^2 - 3xy + 2y^2 - x + 3y - 2$

(14) $(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) - 9$

2. 解き方の手順

(5) 共通因数でくくります。

$3m^2ab - 6ma^2b = 3mab(m - 2a)$

(7) 因数分解の公式を利用します。

$x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)$

(9) 共通因数でくくります。

$x^5 - 4x^3 = x^3(x^2 - 4) = x^3(x - 2)(x + 2)$

(11) 項を組み替えて因数分解します。

$a^3 + 2a^2b - 4ab^2 - 8b^3 = a^2(a + 2b) - 4b^2(a + 2b) = (a^2 - 4b^2)(a + 2b) = (a - 2b)(a + 2b)(a + 2b) = (a - 2b)(a + 2b)^2$

(13) $x^4+x^2+1$ は $x^4+2x^2+1-x^2$ と変形します。

$x^4 + x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 = (x^2 + 1)^2 - x^2 = (x^2 + 1 - x)(x^2 + 1 + x) = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$

(6) 因数分解の公式を利用します。

$25a^2 - 20a + 4 = (5a)^2 - 2(5a)(2) + 2^2 = (5a - 2)^2$

(8) 共通因数でくくり、因数分解の公式を利用します。

$3x^2 + 15x + 18 = 3(x^2 + 5x + 6) = 3(x + 2)(x + 3)$

(10) 式を整理して因数分解します。

$x^2 + y^2 + 2yz - 2zx - 2xy = x^2 - 2x(y + z) + (y^2 + 2yz + z^2) = x^2 - 2x(y + z) + (y + z)^2 = (x - (y + z))^2 = (x - y - z)^2$

(12) 因数分解します。

$x^2 - 3xy + 2y^2 - x + 3y - 2 = x^2 - (3y + 1)x + (2y^2 + 3y - 2) = x^2 - (3y + 1)x + (2y - 1)(y + 2) = (x - (2y - 1))(x - (y + 2)) = (x - 2y + 1)(x - y - 2)$

(14) 項を組み替えて因数分解します。

$(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) - 9 = ((x+1)(x+7))((x+3)(x+5)) - 9 = (x^2 + 8x + 7)(x^2 + 8x + 15) - 9$

ここで、$A = x^2 + 8x$ とおくと、

$(A + 7)(A + 15) - 9 = A^2 + 22A + 105 - 9 = A^2 + 22A + 96 = (A + 6)(A + 16) = (x^2 + 8x + 6)(x^2 + 8x + 16) = (x^2 + 8x + 6)(x + 4)^2$

3. 最終的な答え

(5) $3mab(m - 2a)$

(7) $(x - 4)(x + 3)$

(9) $x^3(x - 2)(x + 2)$

(11) $(a - 2b)(a + 2b)^2$

(13) $(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$

(6) $(5a - 2)^2$

(8) $3(x + 2)(x + 3)$

(10) $(x - y - z)^2$

(12) $(x - 2y + 1)(x - y - 2)$

(14) $(x^2 + 8x + 6)(x + 4)^2$