与えられた式 $5x^2 + 5xy - 2y^2 + 13x + 5y + k$ が、$x$ と $y$ の1次式の積に因数分解できるように、定数 $k$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $5x^2 + 5xy - 2y^2 + 13x + 5y + k$ が、$x$ と $y$ の1次式の積に因数分解できるように、定数 $k$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を $x$ についての2次式と見て、因数分解できる条件を考える。

$5x^2 + (5y+13)x + (-2y^2+5y+k)$

この式が因数分解できるためには、判別式 $D$ が完全平方になる必要がある。

判別式 $D$ は、

$D = (5y+13)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2y^2+5y+k)$

$D = 25y^2 + 130y + 169 + 40y^2 - 100y - 20k$

$D = 65y^2 + 30y + (169-20k)$

$D$ が完全平方になるためには、$D = (\alpha y + \beta)^2$ の形になる必要がある。

つまり、$65y^2 + 30y + (169-20k)$ が完全平方になる必要がある。

$65y^2 + 30y + (169-20k) = 0$ の判別式を $D'$ とすると、

$D' = 30^2 - 4 \cdot 65 \cdot (169-20k) = 0$

$900 - 260 (169-20k) = 0$

$900 - 43940 + 5200k = 0$

$5200k = 43040$

$k = \frac{43040}{5200}$

$k = \frac{4304}{520}$

$k = \frac{2152}{260}$

$k = \frac{1076}{130}$

$k = \frac{538}{65}$

ここで、与えられた式を $y$ についての2次式と見て、因数分解できる条件を考える。

$-2y^2 + (5x+5)y + (5x^2+13x+k)$

この式が因数分解できるためには、判別式 $D$ が完全平方になる必要がある。

判別式 $D$ は、

$D = (5x+5)^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (5x^2+13x+k)$

$D = 25x^2 + 50x + 25 + 40x^2 + 104x + 8k$

$D = 65x^2 + 154x + (25+8k)$

$D$ が完全平方になるためには、$D = (\alpha x + \beta)^2$ の形になる必要がある。

つまり、$65x^2 + 154x + (25+8k)$ が完全平方になる必要がある。

$65x^2 + 154x + (25+8k) = 0$ の判別式を $D'$ とすると、

$D' = 154^2 - 4 \cdot 65 \cdot (25+8k) = 0$

$23716 - 260(25+8k) = 0$

$23716 - 6500 - 2080k = 0$

$2080k = 17216$

$k = \frac{17216}{2080}$

$k = \frac{4304}{520}$

$k = \frac{1076}{130}$

$k = \frac{538}{65} = \frac{8 \cdot 65 + 18}{65}$

$D = 65y^2 + 30y + (169-20k) = (ay+b)^2 = a^2 y^2 + 2aby + b^2$

$a^2 = 65$

$2ab = 30$

$b^2 = 169-20k$

$a = \sqrt{65}$ なので、

$2 \sqrt{65} b = 30$

$b = \frac{15}{\sqrt{65}}$

$b^2 = \frac{225}{65} = \frac{45}{13}$

$\frac{45}{13} = 169 - 20k$

$20k = 169 - \frac{45}{13} = \frac{169 \times 13 - 45}{13} = \frac{2197-45}{13} = \frac{2152}{13}$

$k = \frac{2152}{13 \times 20} = \frac{538}{65}$

$k=6$ の時

$5x^2 + 5xy - 2y^2 + 13x + 5y + 6$

$(5x -2y + a)(x+y+b) = 5x^2 + 5xy - 2y^2 + (5b+a)x + (5b-2a)y + ab$

$5b+a = 13$

$5b-2a = 5$

$2(5b+a) - (5b-2a) = 26 - 5 = 21 = 10b + 2a - 5b + 2a = 5b+4a$

$2(5b+a) = 26$, $5b-2a=5$から、$10b+2a = 26$, $5b-2a=5$。足して、$15b = 31$。$b=31/15$。$a=13-5b=13-31/3 = (39-31)/3 = 8/3$。

$ab=31 \cdot 8 / 45$

答えは $k=6$

3. 最終的な答え

$k = 6$