与えられた$x$と$y$の2次式 $3x^2+5xy-2y^2+13x+5y+k$ が、$x$と$y$の1次式の積に因数分解できるように、定数$k$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた$x$と$y$の2次式 $3x^2+5xy-2y^2+13x+5y+k$ が、$x$と$y$の1次式の積に因数分解できるように、定数$k$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

与式を$x$についての2次式と見て整理します。

$3x^2 + (5y+13)x -2y^2 + 5y + k$

この式が因数分解できるためには、この$x$についての2次方程式の判別式が完全平方式になる必要があります。判別式を$D$とすると、

$D = (5y+13)^2 - 4(3)(-2y^2+5y+k)$

$= 25y^2 + 130y + 169 + 24y^2 - 60y - 12k$

$= 49y^2 + 70y + 169 - 12k$

この式が完全平方になるためには、

$49y^2 + 70y + 169 - 12k = (ay+b)^2$

の形にならなければなりません。

$49y^2 + 70y + 169 - 12k = (7y+c)^2 = 49y^2 + 14cy + c^2$

と比較すると、$14c=70$より$c=5$となります。

したがって、

$169 - 12k = c^2 = 5^2 = 25$

$169 - 12k = 25$

$12k = 169 - 25 = 144$

$k = \frac{144}{12} = 12$

3. 最終的な答え

$k=12$