相加平均と相乗平均の関係を利用して、次の不等式を証明し、等号が成り立つ場合を調べる問題です。ただし、文字はすべて正の数とします。 (1) $(a + \frac{4}{b})(b + \frac{4}{c})(c + \frac{4}{a}) \geq 64$ (2) $\sqrt{ab} \geq \frac{2ab}{a+b}$

1. 問題の内容

相加平均と相乗平均の関係を利用して、次の不等式を証明し、等号が成り立つ場合を調べる問題です。ただし、文字はすべて正の数とします。

(1) $(a + \frac{4}{b})(b + \frac{4}{c})(c + \frac{4}{a}) \geq 64$

(2) $\sqrt{ab} \geq \frac{2ab}{a+b}$

2. 解き方の手順

(1) $(a + \frac{4}{b})(b + \frac{4}{c})(c + \frac{4}{a}) \geq 64$ の証明

相加平均と相乗平均の関係より、$x > 0, y > 0$のとき、$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$ が成り立ちます。

$a + \frac{4}{b} \geq 2\sqrt{a \cdot \frac{4}{b}} = 4\sqrt{\frac{a}{b}}$

$b + \frac{4}{c} \geq 2\sqrt{b \cdot \frac{4}{c}} = 4\sqrt{\frac{b}{c}}$

$c + \frac{4}{a} \geq 2\sqrt{c \cdot \frac{4}{a}} = 4\sqrt{\frac{c}{a}}$

これらの不等式を掛け合わせると、

$(a + \frac{4}{b})(b + \frac{4}{c})(c + \frac{4}{a}) \geq 4\sqrt{\frac{a}{b}} \cdot 4\sqrt{\frac{b}{c}} \cdot 4\sqrt{\frac{c}{a}}$

$(a + \frac{4}{b})(b + \frac{4}{c})(c + \frac{4}{a}) \geq 64\sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a}}$

$(a + \frac{4}{b})(b + \frac{4}{c})(c + \frac{4}{a}) \geq 64\sqrt{1}$

$(a + \frac{4}{b})(b + \frac{4}{c})(c + \frac{4}{a}) \geq 64$

等号が成り立つのは、$a = \frac{4}{b}, b = \frac{4}{c}, c = \frac{4}{a}$ のときです。

すなわち、$ab = 4, bc = 4, ca = 4$のとき。

これから$a=b=c$となり、$a^2 = 4$なので、$a = b = c = 2$のとき等号が成り立ちます。

(2) $\sqrt{ab} \geq \frac{2ab}{a+b}$ の証明

相加平均と相乗平均の関係より、$a > 0, b > 0$のとき、$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ が成り立ちます。

この不等式の両辺の逆数をとると（両辺が正なので不等号の向きが変わります）、

$\frac{2}{a+b} \leq \frac{1}{\sqrt{ab}}$

両辺に$ab$を掛けると、

$\frac{2ab}{a+b} \leq \frac{ab}{\sqrt{ab}} = \sqrt{ab}$

よって、$\sqrt{ab} \geq \frac{2ab}{a+b}$ が証明されました。

等号が成り立つのは、$a = b$のときです。

3. 最終的な答え

(1) 不等式 $(a + \frac{4}{b})(b + \frac{4}{c})(c + \frac{4}{a}) \geq 64$ は証明されました。等号が成り立つのは、$a = b = c = 2$のときです。

(2) 不等式 $\sqrt{ab} \geq \frac{2ab}{a+b}$ は証明されました。等号が成り立つのは、$a = b$のときです。