$a, b$を実数の定数とし、$f(x)$を1次式とする。$f(x)^2$を$x^2 + ax + b$で割った余りが$f(x)$となるような$f(x)$が存在するとき、あり得る組$(a, b)$を$ab$平面上に図示せよ。

1. 問題の内容

$a, b$を実数の定数とし、$f(x)$を1次式とする。$f(x)^2$を$x^2 + ax + b$で割った余りが$f(x)$となるような$f(x)$が存在するとき、あり得る組$(a, b)$を$ab$平面上に図示せよ。

2. 解き方の手順

$f(x) = px + q$ ($p, q$は実数、$p \neq 0$)とおく。

$f(x)^2 = (px+q)^2 = p^2 x^2 + 2pqx + q^2$

$f(x)^2$を$x^2 + ax + b$で割った余りが$f(x)$であることから、

$p^2 x^2 + 2pqx + q^2 = p^2 (x^2 + ax + b) + px + q$

が成り立つ。

この式を変形すると

$p^2 x^2 + 2pqx + q^2 = p^2 x^2 + p^2 ax + p^2 b + px + q$

$0 = (p^2 a + p - 2pq)x + (p^2 b + q - q^2)$

これがすべての$x$について成り立つので、

$p^2 a + p - 2pq = 0$

$p^2 b + q - q^2 = 0$

$p \neq 0$なので、

$p a + 1 - 2q = 0$ より $pa = 2q - 1$

$p^2 b + q - q^2 = 0$ より $p^2 b = q^2 - q$

$p^2 a^2 = (2q - 1)^2 = 4q^2 - 4q + 1$

$4p^2 b = 4q^2 - 4q$

$p^2 a^2 - 4p^2 b = 1$

$p^2(a^2 - 4b) = 1$

$a^2 - 4b = \frac{1}{p^2}$

$a^2 - 4b > 0$

求める領域は、

$b < \frac{1}{4} a^2$

3. 最終的な答え

求める領域は $b < \frac{1}{4} a^2$ であり、$ab$平面上に放物線 $b = \frac{1}{4} a^2$ を描き、その下側の領域が答えとなります。